Временных рядов

Напомним, что построение модели временного ряда – не самоцель, а лишь средство его анализа и прогнозирования. При этом исходят из того предположения, что тенденция развития изучаемого процесса, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Задача ставится следующим способом: имеется временной ряд y_t (t = 1, 2, …, n)и требуется дать прогноз уровня этого ряда на момент t + l.

Один из распространенных подходов к прогнозированию состоит в следующем:

· временной ряд раскладывается на трендовую (долговременную),

сезонную (объединяющую в себе собственно сезонную и циклическую

компоненты) и случайную компоненты;

· трендовую составляющую «подгоняют» полиномом, а сезонную –

рядом Фурье;

· прогноз производится экстраполяцией этих «подогнанных» значений в

будущее.

Выше (в п.п. 2.4.4 и 3.3.4) мы рассматривали точечный и интервальный прогноз значений зависимой переменной Y для значений объясняющих переменных X, расположенных вне пределов обследованного диапазона значений X. Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы анализа.

Замечание 7.2. Напомним, что одна из основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что отсутствует автокорреляция «возмущений» e_t (t = 1, 2, …, n). Поскольку при работе с временными рядами такое допущение часто оказывается неверным, необходимо проверить отсутствие /наличие автокорреляции, например, с помощью критерия Дарбина-Уотсона (см. п. 5.2.2). 3

Пример 7.6. По данным примера 7.1 дать с надежностью 0,95 точечный и интервальный прогноз среднего и индивидуального значений спроса на товар на 9-й год, предполагая, что тренд линейный.

Решение. Выясним вначале отсутствие /наличие автокорреляции «возмущений» на уровне значимости a = 1 – 0,95 = 0,05.

Выше, в примере 7.3, получено уравнение регрессии . В табл. 7.7 приведен расчет сумм, необходимых для вычисления d -статистики Дарбина-Уотсона.

Таблица 7.7

t	yt			et – 1
		207,0	6,0	–	–	36,0
		232,7	–61,7	6,0	4 583,3	3 806,9
		258,4	32,6	–61,7	8 892,5	1 062,8
		284,0	25,0	32,6	57,8	625,0
		309,7	7,3	25,0	313,3	53,3
		335,4	26,6	7,3	372,5	707,6
		361,1	–10,1	26,6	1 346,9	102,0
		386,7	–25,7	–10,1	243,4	660,5
S	2 014	–		–	15 809,7	7 054,1

Теперь по формуле (5.7) статистика Дарбина-Уотсона

.

По табл.4 Приложения при уровне значимости a = 0,05, m = 1 (одна объясняющая переменная – время) и объеме выборки n = 8 находим критические значения d _н = 0,763, d _в = 1,332. Так как d _в £ d < 4 – d _в (1,332 £ 2,24 < 2,668), то для рассматриваемого временного ряда принимается гипотеза об отсутствии автокорреляции на уровне значимости 0,05.

Точечный прогноз среднего спроса на товар на момент t = 9 найдем с помощью уравнения регрессии

412,4 (усл. ед.).

С помощью формулы (2.17) находим оценку дисперсии s ² «возмущений»:

.

Вычислим оценки дисперсии и среднеквадратического отклонения для выборочного уравнения регрессии при t = 9:

;

(усл. ед.).

Здесь мы использовали данные, полученные в примере 7.3:

.

По табл.1 Приложения находим .

Воспользовавшись формулой (2.31), определим границы доверительного интервала для среднего значения спроса при t = 9:

412,4 ± 2,447×26,72,

или

(347,02; 447,78).

Таким образом, среднему спросу в 9-м году с надежностью 0,95 будет соответствовать доверительный интервал (347,02 усл.ед.; 447,78 усл.ед.).

Аналогично с помощью формулы (2.32) рассчитываем границы интервала, в котором с надежностью 0,95 будет находиться индивидуальное значение спроса при t = 9:

,

или

(306,85; 517,95).

Следовательно, в 9-м году возможный спрос на товар с вероятностью 0,95 будет находиться в интервале (306,85 усл. ед.; 517,95 усл.ед.). Нетрудно заметить, что он включает в себя доверительный интервал для среднего спроса.g

Контрольные вопросы

1. В чем суть временного ряда?

2. В чем состоит разница между временным рядом и совокупностью реализаций одной случайной величины?

3. Перечислите основные элементы временного ряда и основные этапы их анализа.

4. Выпишите общий вид аддитивной и мультипликативной модели временного ряда.

5. Как проверить гипотезу о наличии тренда временного ряда?

6. Как определяется автокорреляционная функция и для чего она используется?

7. В чем заключается «сглаживание» временного ряда?

8. Какие методы «сглаживания» временных рядов Вы знаете?

9. Что такое функции роста и какие их типы Вы знаете?

10. Какие методы используются для оценки тренда временного ряда?

11. Объясните назначение скользящих средних. Влияние каких компонент временного ряда устраняется с их помощью?

12. Приведите алгоритм расчета простых скользящих средних.

13. Сколько значений временного ряда теряется при использовании скользящей средней с длиной интервала сглаживания k = 2 p + 1?

14. Объясните назначение рядов Фурье. Влияние каких компонент временного ряда выделяется с их помощью?

15. Как осуществляется прогнозирование на основе временных рядов?