Ряд Фурье с двумя гармониками

,

где

и т.д.

Пример 7.5. В табл. 7.5 приведены данные (в тыс. усл. ед.) о продаже женской летней обуви по одному району города N.

Таблица 7.5

Месяц	Янв.	Фев.	Март	Апр.	Май	Июнь
Продано обуви	37,0	40,0	44,0	52,0	46,0	70,0
Месяц	Июль	Авг.	Сент.	Окт.	Нояб.	Декаб.
Продано обуви	70,0	48,0	46,0	38,0	36,0	35,0

Представить сезонные колебания с помощью ряда Фурье по одной и двум гармоникам. Изобразить графически исходный временной ряд, а также ряды, сглаженные по одной и двум гармоникам.

Решение. Промежуточные результаты, необходимые для расчета параметров ряда Фурье, приведены в табл. 7.6.

Таблица 7.6

Ме- сяц	t	Про- дано обуви yt	yt ×cos t	yt ×sin t	f 1(t)	yt ×cos2 t	yt ×sin2 t	f 2(t)
		37,0	37,0		35,0	37,0		37,9
	p /6	40,0	34,64	20,0	39,3	20,0	34,64	39,6
	p /3	44,0	22,0	38,1	45,5	–22,0	38,1	43,0
	p /2	52,0		52,0	51,7	–52,0		43,8
	2 p /3	46,0	–23,0	39,84	56,5	–39,84	–34,84	56,2
	5 p /6	70,0	–60,62	35,0	58,4	35,0	–60,6	61,0
	p	60,0	–60,0		57,0	60,0		54,9
	7 p /6	48,0	–41,57	–24,0	52,7	24,0	41,57	53,0
	4 p /3	46,0	–23,0	–39,84	46,5	–23,0	39,84	44,0
	3 p /2	38,0		–38,0	39,3	–38,0		36,4
	5 p /3	36,0	18,0	–31,17	35,5	–18,0	–31,18	35,2
	11 p /6	35,0	30,31	–17,5	33,6	17,5	–30,31	36,2
S	–	552,0	–66,24	34,43	551,0	17,5	–7,78	551,2

Параметры первой гармоники ряда Фурье будут следующие:

,

а уравнение самой гармоники

.

Значения сглаженного по первой гармонике временного ряда приведены в 6-м столбце табл. 7.6.

Для второй гармоники ряда Фурье дополнительные параметры следующие:

;

уравнение гармоники

.

Графическое представление временного ряда продаж женской летней обуви, а также сглаженные ряды при помощи первой и второй гармоник ряда Фурье приведены на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Исходный и сглаженные временные ряды

(