2015-05-18
8212
Аддитивной моделью временного ряда называется такая модель, где уровни ряда представлены как сумма трендовой (Т), сезонной или циклической (S) и случайной (Е) компонент: уt=Т+S+Е. Построению аддитивной модели обычно предшествует анализ структуры временного ряда, то есть определение наличия или отсутствия этих компонент в ряду динамики. Для этих целей строят автокорреляционную функцию. Если коэффициент автокорреляции первого порядка существенно отличен от нуля, то в ряду динамики есть тенденция, если самым высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка k, то в ряду есть цикличность в k периодов времени. Построение аддитивной модели сводится к количественному определению указанных компонент для каждого уровня ряда, определению прогнозных уровней как 
t=Т+S и оценке качества модели.
Этапы построения аддитивной модели (см. практикум):
1. Определим структуру ряда динамики, для чего построим автокорреляционную функцию. Анализ: например, значение коэффициента автокорреляции первого порядка значимо отличается от нуля, что указывает на наличие тенденции в ряду динамики. Самым высоким по значению оказался коэффициент автокорреляции 4-ого порядка, следовательно, в ряду динамики ярко выражена цикличность в 4 периода времени.
2. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
а) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала, каждый раз сдвигая период осреднения на один квартал, и определим условные годовые объемы производства;
б) разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Отметим, что найденные таким образом средние уровни уже не содержат сезонной компоненты;
в) средние уровни в рядах динамики должны относиться к середине периода осреднения (между вторым и третьим кварталом, между третьим и четвертым и т.п.), поэтому приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени. Для этого найдем средние из двух соседних скользящих средних – центрированные скользящие средние.
3. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для расчета сезонной компоненты S в аддитивной модели. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются, то есть сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
4. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т +Е= уt – S. Эти значения рассчитываются для каждого периода времени (квартала) и содержат только тенденцию и случайную составляющую.
5. Определим трендовую компоненту Т в данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда.
6. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели = T+S. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.
7. Расчет ошибки (остатка) в каждом случае производится по формуле
E= yt - (T+S)
Для оценки качества построения модели можно использовать сумму квадратов полученных абсолютных ошибок, что дает нам объем остаточной вариации.
