Тема Основные понятия теории вероятностей и статистики. Задачи к экзамену

1.Пусть X,Y – годовые дивиденды от вложений денежных средств в акции компаний А и В соответственно. Риск от вложений характеризуется дисперсиями: D(X)=25, D(Y)=16. Коэффициент корреляции σ =+0,8. Менее рискованно вкладывать денежные средства:

+—в отрасль В

—в отрасль А

—в обе отрасли в соотношении 30% на 70%

2.Пусть X,Y – годовые дивиденды от вложений денежных средств в акции компаний А и В соответственно. Риск от вложений характеризуется дисперсиями: D(X)=4, D(Y)=9. Коэффициент корреляции σ =0,7. Менее рискованно вкладывать денежные средства:

+—в отрасль А

—в отрасль В

—в обе отрасли в соотношении 40% на 60%

3.Пусть X,Y – годовые дивиденды от вложений денежных средств в акции компаний А и В соответственно. Риск от вложений характеризуется дисперсиями: D(X)=4, D(Y)=9. Коэффициент корреляции σ = -0,65. Менее рискованно вкладывать денежные средства:

+—в обе отрасли в соотношении 40% на 60%

—только в отрасль А

—только в отрасль В

4.Доход Х населения имеет нормальный закон распределения со средним значением 5000 руб. и средним квадратическим отклонением 1000 руб. Обследуется 1000 человек. Наиболее вероятное количество человек, имеющих доход более 6000 руб., будет составлять:

+—158

—159

—341

5.Доход Х населения имеет нормальный закон распределения со средним значением 4500 руб. и средним квадратическим отклонением 700 руб. Обследуется 500 человек. Наиболее вероятное количество человек, имеющих доход более 5500 руб., будет составлять:

+—38

—39

—212

6.Доход Х населения имеет нормальный закон распределения со средним значением 9000 руб. и средним квадратическим отклонением 800 руб. Обследуется 2000 человек. Наиболее вероятное количество человек, имеющих доход более 10400 руб., будет составлять:

+—80

—81

—920

7.Статистика по годовым темпам инфляции в стране за последние 10 лет составила (%): 2,6; 3,0; 5,2; 1,7; -0,5; 0,6; 2,2; 2,9; 4,2; 3,8. Несмещенные оценки среднего темпа инфляции, дисперсии и среднего квадратического отклонения составляют:

+—2,57; 2,84; 1,69

—2,57; 2,56; 1,60

—2,57; 25,58; 5,06

8.Статистика по годовым темпам инфляции в стране за последние 10 лет составила (%): 2,3; 3,5; -0,8; 4,0; 2,4; 3,2; 4,1; 3,6; 2,5; 4,2. Несмещенные оценки среднего темпа инфляции, дисперсии и среднего квадратического отклонения составляют:

+—2,9; 2,19; 1,481

—2,9; 2,06; 1,44

—2,9; 20,55; 4,53

9.Статистика по годовым темпам инфляции в стране за последние 10 лет составила (%): 3,8; 2,2; -0,7; -1,0; 4,2; 5,1; 2,6; 0,8; 2,9; 1,1. Несмещенные оценки среднего темпа инфляции, дисперсии и среднего квадратического отклонения составляют:

+—2,1; 4,15; 2,04

—2,1; 3,73; 1,93

—2,1; 37,34; 6,11

10.Предполагается, что месячный доход граждан страны имеет нормальное распределение с математическим ожиданием m=500 $ и дисперсией σ²=22500. По выборке из 500 человек определен выборочный средний доход =450 $. Доверительный интервал для среднедушевого дохода в стране составляют при уровне значимости 0,05:

+—436,85; 463,15

—449,87; 450,13

—438,94; 461,06

11.При анализе зависимости между двумя показателями Х и Y по 30 наблюдениям получены следующие данные: = 105; =80; =900; =252600; =635. Оцените наличие линейной зависимости между Х и Y и статистическую значимость коэффициента корреляции ρ_хy:

+—r_xy=0,8; коэффициент значим на всех уровнях значимости

—r_xy=-0,8; коэффициент значим на всех уровнях значимости

—r_xy= 0,8; коэффициент не значим на всех уровнях значимости

—r_xy= 0,8; коэффициент значим только на уровне значимости 0,05

12.Предполагается, что месячная зарплата сотрудников фирмы составляет 500 $ при стандартном отклонении σ = 50 $. Выборка из 49 человек дала следующие результаты: =450$ и S = 60$. На основании результатов проведенных наблюдений можно утверждать, что:

+—средняя зарплата сотрудников меньше рекламируемой на всех уровнях значимости, а разброс в зарплатах больше на уровне значимости α=0,05 и α=0,1

—средняя зарплата сотрудников меньше рекламируемой на всех уровнях значимости, а разброс в зарплатах больше только на уровне значимости α=0,01

—средняя зарплата сотрудников меньше рекламируемой, а разброс в зарплатах больше на всех уровнях значимости

13.Предполагается, что месячная зарплата сотрудников фирмы составляет 600 $ при стандартном отклонении σ = 100 $. Выборка из 49 человек дала следующие результаты: =500$ и S = 120$. На основании результатов проведенных наблюдений можно утверждать, что:

+—средняя зарплата сотрудников меньше рекламируемой на всех уровнях значимости, а разброс в зарплатах больше на уровне значимости α=0,05 и α=0,1

—средняя зарплата сотрудников меньше рекламируемой на всех уровнях значимости, а разброс в зарплатах больше только на уровне значимости α=0,01

—средняя зарплата сотрудников меньше рекламируемой, а разброс в зарплатах больше на всех уровнях значимости

14.Предполагается, что месячная зарплата сотрудников фирмы составляет 800 $ при стандартном отклонении σ = 40 $. Выборка из 49 человек дала следующие результаты: =780$ и S = 50$. На основании результатов проведенных наблюдений можно утверждать, что:

+—средняя зарплата сотрудников меньше рекламируемой, а разброс в зарплатах больше на всех уровнях значимости

—средняя зарплата сотрудников меньше рекламируемой на всех уровнях значимости, а разброс в зарплатах больше на уровне значимости α=0,05 и α=0,01

—средняя зарплата сотрудников меньше рекламируемой на всех уровнях значимости, а разброс в зарплатах больше только на уровне значимости α=0,1

15.На основании наблюдений за 29 кандидатами на должность менеджера в фирме установлено, что в среднем они тратили 10 минут на решение тестового задания при выборочном стандартном отклонении S=2 минуты. Предполагалось, что среднее время решения тестового задания должно составить 9 минут. Полученные данные по выборочным наблюдениям:

+—не противоречат выдвинутой гипотезе на уровне значимости α=0,01

—противоречат выдвинутой гипотезе на уровне значимости α=0,01

—не противоречат выдвинутой гипотезе на уровне значимости α=0,1

16.На основании наблюдений за 29 кандидатами на должность менеджера в фирме установлено, что в среднем они тратили 11 минут на решение тестового задания при выборочном стандартном отклонении S=2 минуты. Предполагалось, что среднее время решения тестового задания должно составить 10 минут. Полученные данные по выборочным наблюдениям:

+—не противоречат выдвинутой гипотезе на уровне значимости α=0,01

—противоречат выдвинутой гипотезе на уровне значимости α=0,01

—не противоречат выдвинутой гипотезе на уровне значимости α=0,1

17.На основании наблюдений за 29 кандидатами на должность менеджера в фирме установлено, что в среднем они тратили 9,2 минуты на решение тестового задания при выборочном стандартном отклонении S=2 минуты. Предполагалось, что среднее время решения тестового задания должно составить 10 минут. Полученные данные по выборочным наблюдениям:

+—не противоречат выдвинутой гипотезе на уровне значимости α=0,01

—противоречат выдвинутой гипотезе на уровне значимости α=0,01

—не противоречат выдвинутой гипотезе на уровне значимости α=0,1

18.Расход стирального порошка (Х) стиральной машины марки N, изготовляемой на предприятии, имеет нормальный закон распределения с m_x = 200 г и σ_х = 20 г. Выпустив новую модификацию стиральной машины, предприятие утверждает, что у нее средний расход m_y стирального порошка снижен до 100 г при том же значении σ. Выборка из 20 стиральных машин каждой модели дала следующие средние расходы: = 190 г; = 120 г. По этим данным доверять рекламе предприятия:

+—можно на любом уровне значимости α= (0,1; 0,05; 0,01)

—можно только на уровне значимости α = 0,01, на уровнях значимости α = 0,05 и 0,1 доверять нельзя

—нельзя на любом уровне значимости

19.Расход стирального порошка (Х) стиральной машины марки N, изготовляемой на предприятии, имеет нормальный закон распределения с m_x = 150 г и σ_х = 20 г. Выпустив новую модификацию стиральной машины, предприятие утверждает, что у нее средний расход m_y стирального порошка снижен до 100 г при том же значении σ. Выборка из 25 стиральных машин каждой модели дала следующие средние расходы: = 140 г; = 132 г. По этим данным доверять рекламе предприятия:

+—можно только на уровне значимости α= 0,1

—можно на уровне значимости α = 0,05 и 0,01

—можно на любом уровне значимости

20.Расход стирального порошка (Х) стиральной машины марки N, изготовляемой на предприятии, имеет нормальный закон распределения с m_x = 150 г и σ_х = 20 г. Выпустив новую модификацию стиральной машины, предприятие утверждает, что у нее средний расход m_y стирального порошка снижен до 100 г при том же значении σ. Выборка из 15 стиральных машин каждой модели дала следующие средние расходы: = 145 г; = 130 г. По этим данным доверять рекламе предприятия:

+—можно на уровне значимости α=0,1 и 0,05; на уровне значимости α=0,01 доверять нельзя

—можно только на уровне значимости α = 0,01, на уровнях значимости α = 0,05 и 0,1 доверять нельзя

—нельзя на любом уровне значимости

21.Средний уровень жизни Х и Y двух стран (США и Англии соответственно) примерно одинаковы, но разбросы в доходах этих стран различны. За последние двадцать лет получены следующие результаты:

S_x² =280; S_y² = 130. На основании выборочных данных можно утверждать, что:

+—на уровне значимости α=0,1 разброс в доходах в США больше, чем в Англии

—на уровне значимости α=0,05 и 0,01 разброс в доходах США больше, чем в Англии

—на любом уровне значимости нет оснований утверждать, что разброс в доходах в США больше, чем в Англии

22.Средний уровень жизни Х и Y двух стран (США и Англии соответственно) примерно одинаковы, но разброс в доходах этих стран различны. За последние двадцать лет получены следующие результаты:

S_x² =200; S_y² = 100. На основании выборочных данных можно утверждать, что:

+—на уровне значимости α=0,1 разброс в доходах в США больше, чем в Англии

—на уровне значимости α=0,05 и 0,01 разброс в доходах США больше, чем в Англии

—на любом уровне значимости нет оснований утверждать, что разброс в доходах в США больше, чем в Англии

23.Средний уровень жизни Х и Y двух стран (США и Англии соответственно) примерно одинаковы, но разброс в доходах этих стран различны. За последние двадцать лет получены следующие результаты:

S_x² =300; S_y² = 120. На основании выборочных данных можно утверждать, что:

+—на уровне значимости α=0,1 и 0,05 разброс в доходах в США больше, чем в Англии

—на уровне значимости α=0,01 разброс в доходах США больше, чем в Англии

—на любом уровне значимости нет оснований утверждать, что разброс в доходах в США больше, чем в Англии

24.Анализируется зависимость между доходами горожан (СВ Х), имеющих индивидуальные домовладения, и рыночной стоимостью их домов (СВ Y). По случайной выборке из 500 горожан данной категории получены результаты:

; ;

;

95 % доверительный интервал для коэффициента регрессии данной зависимости равен:

—3,11; 3,55

—0,028; 0,094

—37,41; 44,29

+—3,05; 3,61

25.Имеется три вида акций A, B и C каждая стоимостью 20 у.е., дивиденды по которым являются независимыми СВ со средним значением 8 % и дисперсией 25. Формируются два портфеля инвестиций. Портфель z₁ состоит из 60 акций A. Портфель z₂ включает в себя по 20 акций A, B и C. Коэффициент корреляции между дивидендами по акциям A и C равен -0,5, но обе величины не коррелируют с дивидендами по акциям B. Рассчитать риски от вложений средств в данные портфели инвестиций:

+—z₁=90000; z₂=20000

—z₁=90000; z₂=29975

—z₁=90000; z₂=1475

—z₁=1500; z₂=1525

26.Имеется три вида акций A, B и C, каждая стоимостью 15 у.е., дивиденды по которым являются независимыми СВ со средним значением 7 % и дисперсией 16. Формируются два портфеля инвестиций. Портфель z₁ состоит из 100 акций A. Портфель z₂ включает в себя 40 акций A, 40 акций B и 20 акций C. Коэффициент корреляции между дивидендами по акциям A и B равен -0,6, но обе величины не коррелируют с дивидендами по акциям C. Рассчитать риски от вложений средств в данные портфели инвестиций:

—z₁=160000; z₂=57580,8

—z₁=160000; z₂=57600

—z₁=1600; z₂=1580,8

+—z₁=160000; z₂=26880

27.Два университета А и В готовят специалистов аналогичных специальностей. Федеральное агентство по образованию решило проверить качество подготовки в обоих университетах, организовав для этого тестовой экзамен для студентов IV курса. Отобранные случайным образом студенты показали следующие суммы баллов:

A: 55; 43; 25; 48; 37; 60; 31; 40; 44; 52; 48; 50; 53; 60

B: 53; 59; 20; 47; 39; 60; 41; 55; 48; 51; 40; 38; 36; 44; 28; 57; 39; 56; 51; 58

Можно ли утверждать при α = 0,05, что разброс в знаниях студентов в университете B больше, чем в университете А:

—утверждать нельзя, так как F=1,113 < Fкрит.=2,28

+—утверждать нельзя, так как F=1,113 < Fкрит.=2,47

—утверждать нельзя, так как F=0,898 < Fкрит.=2,28

—утверждать нельзя, так как F=0,898 < Fкрит.=2,47

28.Два университета A и B готовят специалистов аналогичных специальностей. Федеральное агентство по образованию решило проверить качество подготовки в обоих университетах, организовав для этого тестовой экзамен для студентов IV курса. Отобранные случайным образом студенты показали следующие суммы баллов:

A: 50; 54; 58; 43; 59; 30; 36; 41; 32; 45; 60; 25; 55; 47; 51; 29; 40

B: 35; 60; 28; 54; 31; 35; 49; 30; 57; 43; 55; 37; 50; 29; 42

Можно ли утверждать при α = 0,1 что разброс в знаниях студентов в университете А больше, чем в университете В:

+—утверждать нельзя, так как F=1,016 < Fкрит.=1,998

—утверждать нельзя, так как F=1,016 < Fкрит.=1,953

—утверждать нельзя, так как F=0,984 < Fкрит.=1,998

—утверждать нельзя, так как F=0,984 < Fкрит.=1,953