Задача 3. По 20 предприятиям региона (табл

По 20 предприятиям региона (табл. 2,5) изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов х₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х₂ (%).

Таблица 2.5

Номер предприятия	у	х1	х2	Номер предприятия	у	х1	х2
	7,0	3,9	10,0		9,0	6,0	21,0
	7,0	3,9	14,0		11,0	6,4	22,0
	7,0	3,7	15,0		9,0	6,8	22,0
	7,0	4,0	16,0		11,0	7,2	25,0
	7,0	3,8	17,0		12,0	8,0	28,0
	7,0	4,8	19,0		12,0	8,2	29,0
	8,0	5,4	19,0		12,0	8,1	30,0
	8,0	4,4	20,0		12,0	8,5	31,0
	8,0	5,3	20,0		14,0	9,6	32,0
	10,0	6,8	20,0		14,0	9,0	36,0

Требуется:

1. Оценить показатели вариации каждого признака и сделать выводы о возможностях применения МНК для их изучения.

2. Проанализировать линейные коэффициенты парной и частной корреляции.

3. Написать уравнение множественной регрессии, оценить значимость его параметров, пояснить их экономический смысл.

4. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и . Сравнить значения скорректированного и нескорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации.

5. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения уравнение множественной регрессии фактора х₁ после х₂ и фактора х₂ после х₁.

6. Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности и дать на их основе сравнительную оценку силы влияния факторов на результат.

Для решения заполним расчетную таблицу (2.6).

Таблица 2.6

№ п/п	у	х1	х2			х1х2	у2	ух1	ух2
		3,9		15,21				27,3
		3,9		15,21		54,6		27,3
		3,7		13,69		55,5		25,9
		3,8		14,44		64,6		26,6
		4,8		23,04		91,2		33,6
		5,4		29,16		102,6		43,2
		4,4		19,36				35,2
		5,3		28,09				42,4
		6,8		46,24
		6,4		40,96		140,8		70,4
		6,8		46,24		149,6		61,2
		7,2		51,84				79,2
		8,0
		8,2		67,24		237,8		98,4
		8,1		65,61				97,2
		8,5		75,25		263,5
		9,6		92,16		307,2		134,4
		9,0
		123,8		837,74		2997,4		1276,3
Ср. знач	9,6	6,19	22,3	41,887	541,4	149,87	97,9	63,815	229,05

1)

Наблюдается повышенный уровень варьирования признаков, но в допустимых пределах . Значит совокупность предприятий однородна, и для ее изучения может использоваться МНК и вероятностные методы.

2. Матрица коэффициентов парной регрессии

_;

_;

_.

Матрица коэффициентов парной корреляции

	y	x1	x2
y
x1	0,9699
x2	0,9408	0,9428

Коэффициенты частной корреляции

;

; ;

Значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь у и х₁ и у и х₂. Но в то же время межфакторная связь превышает тесноту связи х₂ с у. Для улучшения модели можно исключить из нее фактор х₂ как малоинформативный, недостаточно статистически надежный.

Коэффициенты частной корреляции дают более точную характеристику тесноты связи двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как очищают парную зависимость от воздействия данной пары признаков с другими признаками, представленными в модели. Наиболее тесно связаны у и , связь у и . Это приводит к выводу о необходимости исключить фактор х₂ - доля высококвалифицированных рабочих - из правой части уравнения множественной регрессии.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи

; ;

; .

Поэтому, по причине сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов рекомендуется исключить из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи, т.е. х₂.

3. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии

Х - матрица значений объясняющих переменных или матрица плана, обратите внимание на то, что в матрицу х дополнительно введен столбец все элементы которого равны 1.

Найдем обратную матрицу

Найдем присоединенную матрицу

.

Значения случайных ошибок параметров а, b₁ и b₂

; ;

Критерий Стьюдента:

t_a>t_табл; ; .

То есть параметры а и b₁ статистически значимы, а b₂ - статистически не значим, не надежен, т.е. его можно рассматривать как неинформативный фактор, лучше его удалить из данного уравнения.

Величины b₁ и b₂ указывают, что с увеличением х₁ и х₂ на единицу результат увеличивается соответственно на 0,9459 и 0,0856 млн. руб.

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи R_yx, x₂ дает F -критерий Фишера.

Найдем стандартизованные коэффициенты регрессии

(по таблице приложения I для ).

F_{ф >} F_{табл .}