Задача 2. По 20 территориям России изучаются следующие данные (табл

По 20 территориям России изучаются следующие данные (табл. 2.2): зависимость среднегодового душевого дохода у (тыс. руб.) от доли занятых тяжелым физическим трудом в общей численности занятых х₁ (%) и от доли экономически активного населения в численности всего населения х₂ (%).

Таблица 2.2

Признак	Среднее значение	Средне- квадратическое отклонение	Характеристика тесноты связи	Уравнение связи
у	112,76	31,58
х1	5,40	3,34
х2	50,88	1,74

Требуется:

1.Составить таблицу дисперсионного анализа для проверки при уровне значимости α= 0,05 статистической значимости уравнения множественной регрессии и его показателя тесноты связи.

2.С помощью частных F-критериев Фишера оценить, насколько целесообразно включение в уравнение множественной регрессии фактора х₁ после фактора х₂ и насколько целесообразно включение х₂ после x₁.

3.Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов при переменных х₁ и х₂ множественного уравнения регрессии.

Решение:1. Задача дисперсионного анализа состоит в проверке нулевой гипотезы h₀ остатистической незначимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи.

Анализ выполняется при сравнении фактического и табличного (критического) значений F-критерия Фишера F_табл и F_факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

где п - число единиц совокупности,

т - число факторов в уравнении линейной регрессии;

ŷ - фактическое значение результативного признака;

- расчетное значение результативного признака.

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Вариация результата, у	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений, S	Дисперсия на одну степень свободы, s2	Fфакт	Fтабл α = 0,05, k1=2. k2=17
Общая	df=n-1=19	19945,9	-	-	-
Факторная	k1 = т = 2	11918,3	5959,15	12,62	3,59
Остаточная	k2 =n-m- 1 = 17	8027,6	472,21	-	-

;

;

;

.

Сравнивая F_табл и F_фaкт, приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу Н₀ и сделать вывод о статистической значимости уравнения регрессии в целом и значения ,так как они статистически надежны и сформировались под систематическим действием неслучайных причин. Вероятность того, что допускаются ошибки при отклонении нулевой гипотезы, не превышает 5 %, и это является достаточно малой величиной.

2. Частный F-критерий Фишера оценивает статистическую целесообразность включения фактора х₁ в модель после того, как в нее включен фактор х₂. Частный F-критерий Фишера строится как отношение прироста факторной дисперсии за счет дополнительно включенного фактора (на одну степень свободы) к остаточной дисперсии (на одну степень свободы), подсчитанной по модели с включенными факторами х₁ и х₂.:

.

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.4.

;

;

;

;

.

Таблица 2.4

Вариация результата, у	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений, S	Дисперсия на одну степень свободы, s2	Fфакт	Fтабл α=0,05, k1=2, k2=17
Общая	df=n-1=19	19945,9	-	-	-
Факторная В том числе: •за счет х2 • за счет дополнительно включенного x1	k1=m = 2	11918,3 5127,1 6791,2	5959,15 5127,1 6791,2	12,62 10,86 14,38	3,59 4,45 4,45
Остаточная	k2=n-m- 1=17	8027,6	472,21	-	-

Включение фактора х₁ после фактора х₂ оказалось статистически значимым и оправданным: прирост факторной дисперсии (в расчете на одну степень свободы) оказался существенным, т.е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующего фактора x₁, так как .

Аналогично проверим целесообразность включения в модель дополнительного фактора х₂ после включенного ранее фактора х₁. Расчет выполним с использованием показателей тесноты связи и :

.

Приходим к выводу, что включение фактора х₂ после х₁ оказалось бесполезным: прирост факторной дисперсии в расчете на одну степень свободы был несущественен, статистически незначим, т.е. влияние х₂ не является устойчивым, систематическим. Вполне возможно ограничиться построением линейного уравнения парной регрессии от х₁.

3. Оценка с помощью t-критерия Стьюдента значимости коэффициентов b₁ и b₂ связано с сопоставлением их значений с величиной их случайных ошибок: и , расчет которых сложен и трудоемок. Поэтому рассмотрим более простой способ: расчет значений t-критерий Стьюдента через частный F-критерий Фишера:

По таблице приложения II из [11] для ; . Сравним , коэффициент регрессии b₁ является статистически значимым, надежным, на него можно опираться в анализе и в прогнозе. Т.к. , т.е. величина b₂ является статистически незначимой, ненадежной в силу того, что она формируется преимущественно под воздействием случайных факторов.