Способы оценивание точности восстановления зависимости

Рассмотрим три способа оценивания точности восстановления зависимости.

В точках t_i, i = 1, 2, …, n, имеем по два значения функции - исходное x_i и восстановленное x^*(t_i). При оценивании функции спроса это D (p_i) и D *(p_i) соответственно. В табл.2 и 4 приведены значения D (p_i), D *(p_i) и D (p_i) – D *(p_i). Третье из этих чисел – абсолютная погрешность. Полезно рассмотреть и относительную погрешность:

, i = 1, 2, …, n.

По данным табл.4 это такие числа (приведены без повторений):

.

Ясно, что из этих 10 чисел самыми большими являются шестое

девятое

и десятое

.

При этом десятое значение находится в области, для которой оценка спроса D *(p) отрицательна (т.е. при цене p = 200 руб.), а девятое - при цене p = 180 руб., т.е. очень близко к границе p = 186,5 руб. – перехода в отрицательную область. Т.о., относительная погрешность не превосходит 0,342 (34,2%) при p 170 руб. Причем, такая большая относительная погрешность, очевидно, связана с тем, что 30% опрошенных (15 человек) назвали одну и ту же цену p =100 руб. Если это значение p = 100 руб. исключить, то при остальных значениях цены относительная погрешность не превышает

(16,6%).

Мы рассмотрели один из наихудших вариантов, когда одна треть опрошенных назвала одну и ту же «круглую цифру» - 100. По многочисленным данным работ студентов можно утверждать, что такая ситуация встречается крайне редко.

О достигаемой точности восстановления функции свидетельствует также ширина доверительного интервала. Выше показано, что при p = 120

D *(120)_верхн. – D *(120)_нижн. = 2 * 0,9391 = 1,878.

Относительная погрешность такова:

| | = (7,4%).

При p =165

| | = = 0,386 (38,6%)

Таким образом, точность оценивания уменьшается по мере удаления от p _ср., особенно при увеличении p. Т.е. при приближении к области отрицательности D *(p) точность оценивания уменьшается.

Чтобы еще одним способом выявить роль погрешностей в прогностической формуле, рассмотрим формальный предельный переход, когда p →∞, тогда значения: 71,54; 1/50; 110,8 в выражении (см. выше):

D* (p) _{верхн./нижн.} = (-0,38362) p + 71,54 ± 6,41

становятся малыми по сравнению с остальными составляющими, следовательно, ими можно пренебречь. Получаем:

D* (p) _{верхн./нижн} = (-0,38362) p± p = [(-0,38362)± 0,024] p.

Таким образом, относительная погрешность составляет:

| | = 6,26%.

Итак, типовые относительные погрешности составляют 6–16%, в исключительных случаях достигают 34–38%.

Как показывает практика, в социально-экономических исследованиях метод наименьших квадратов во многих случаях позволяет получить прогноз с точностью 10-15%.