Нелинейные зависимости

Как проводить анализ данных, если функция спроса не является линейной? Есть два подхода – параметрический и непараметрический.

В первом случае подбираем подходящее семейство функций и по результатам измерения (опроса) оцениваем параметры. Пример: степенное семейство:

D (p) = cp ^{- .}

При этом полезно преобразование переменных, приводящее задачу к линейному виду. В случае степенного семейства необходимо прологарифмировать обе части последнего равенства. Тогда получим:

ln D (p) = ln c + ln p.

Затем обозначим:

у = ln D (p), x = ln p, b =ln c.

Исходя из введенных обозначений, имеем линейное уравнение:

у = x + b.

Задача оценивания параметров степенной зависимости сведена к ранее рассмотренной задаче оценивания параметров линейной функции.

Поясним связь между оценками параметров в этих двух задачах. Будем использовать звездочки для обозначения оценок соответствующих параметров. Допустим, получили выражение:

у ^* = - 5 x + 3,

тогда, подставляя выражение исходных величин через логарифмы, получим

ln D ^*(p) = - 5 ln p + 3.

Далее проводим потенцирование выражения:

e ^{ln D ( p )} = e ^{-5 ln p +3} = e ^{-5 ln p} e ³ = e ³(e ^{ln p})^-5 = 20,086 p ^-5,

т.е.

D ^*(p) = 20,086 p ^-5.

Аналогично линейному случаю, определим оптимальную розничную цену p _опт. при различных значениях издержек. А именно, решим задачу:

(p – p _0.) D ^*(p)

в случае степенной зависимости:

(p – p _0.) с ^* p ^-α*→ .

Точка, в которой достигается максимум, не меняется при умножении максимизируемой функции на константу. Поэтому переходим к задаче:

(p – p _0.) p ^-α* = f (p)→ .

Для нахождения максимума функции продифференцируем ее и приравняем производную к 0:

.

Продифференцируем f (p), используя правило дифференцирования произведения функций:

^-α* + (p – p ₀)(-α^*) p^{-α* - 1} =0.

Вынесем общий множитель за скобки:

p^{-α*- 1}[ p + (p – p ₀) ) (-α^*)] =0.

Сократим на ненулевой множитель (p^{-α*- 1}):

p + (p – p ₀) ) (-α^*) = 0.

Итак, необходимо решить линейное уравнение относительно неизвестного p:

p – α^*p + p _0. α^* = 0.

Сгруппируем члены с p:

(1 – α^*) p = - p _0. α^*.

Получим оптимальное значение розничной цены:

p_опт. = .

Непараметрический подход применяется тогда, когда подходящее семейство функций подобрать не удается. Тогда используют подходы на основе непараметрических оценок плотности распределения (см. Орлов А.И. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2004. -С.145.).