Доверительные интервалы

Доверительная вероятность γ - вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

В математических рассуждениях в рассматриваемой методической разработке, т.е. для стандартного нормального распределения, в формулах для границ доверительного интервала используют множитель:

U () = Ф^-1().

Если = 0,95, то

Ф^-1() = Ф^-1(0,975) = 1,96 = U (),

Если γ = 0,99, то

Ф^-1() = Ф^-1(0,995) = 2,58 = U ().

См. таблицы функции, обратной к функции стандартного нормального распределения.

При n → ∞ имеем асимптотическое сближение распределения x *(t) с нормальным распределением, а потому ширина асимптотического доверительного интервала равна:

2 U () .

Если выбрано = 0,95, то это значит, что в 95% случаев условное математическое ожидание точечного прогноза x *(t), т.е. значение x (t), будет находиться внутри доверительного интервала и только в 5% случаев – вне его. При γ = 0,95 имеем U (γ) =1,96.

Если мы хотим, чтобы в 99 случаях из 100 условное математическое ожидание попадало в рассматриваемый интервал со случайными границами, необходимо этот интервал расширить (при γ = 0,99 имеем U (γ) = 2,58). Но при этом уменьшается точность прогнозирования.

Поясним на примере. Пусть задача - прогнозирование погоды в Москве через год. Рассмотрим прогноз – температура будет от (-50⁰С) до (+70⁰С). Увеличили ширину доверительного интервала до 140⁰С, и можно утверждать, что этот прогноз сбудется с вероятностью γ = 1, т.е. надежность этого прогноза 100%. Но точность этого прогноза невелика.

Если уменьшим γ, то доверительный интервал можно сузить, при этом точность прогноза увеличится. Например, значению γ = 0,9 соответствует U (γ) = 1,64.

На основе опыта конкретных научных и прикладных работ принято в социально-экономических исследованиях использовать γ =0,95 и U(γ) = 1,96.

Рассмотрим наиболее распространенные ошибки при расчетах интервального прогноза.

1. При расчете доверительного интервала берут вместо коэффициента U (γ) величину γ и не умножают на σ^* - оценку среднего квадратичного отклонения погрешности измерения. Напомним, что необходимо использовать выражение:

δ = U () .

Т.е. вместо произведения U (γ)σ^* ошибочно берут просто доверительную вероятность γ.

2. Проверкой правильности вычислений можно считать равенство значений знаменателя в формуле, задающей оценку а ^*, т.е.