Лужин и Свидригайлов

В начале 2012 года Петр Лужин устроился экономическим советником президента, а Аркадий Свидригайлов — начальником отдела макроэкономической статистики. Дела в экономике шли неважно. Согласно отчету Свидригайлова, произошел экономический спад — в 2011 году реальный ВВП сократился на 5 % по сравнению с 2010-м! Остальные данные отчета за последние четыре года приведены в таблице (в экономике есть два товара — Икс и Игрек, а буквой обозначен темп прироста номинального ВВП в процентах к предыдущему году).

Год
					—
					25%
					20%

а) Заполните пустые клетки в таблице на бланке ответов, если известно, что в своих расчетах Свидригайлов за базовый год принимал 2008-й. Приведите полностью все необходимые вычисления.

б) Президент будет очень раздосадован, если увидит эти цифры, потому что журналисты поднимут истерику про депрессию, и ему вряд ли удастся переизбраться на следующий срок. Однако Лужин нашел выход из положения. Не подделывая данные о ценах и количествах и абсолютно правильно произведя все расчеты, он смог избежать негативной реакции избирателей на данные об изменении реального ВВП за 2011 год (негативная реакция наступает всякий раз, когда темп прироста оказывается отрицательным). Как ему это удалось?

Решение:

Год
					—
					25%
					20%
					0%

(а) Номинальный ВВП в 2009 году равен . В 2010 году он вырос на 20%, и значит, номинальный ВВП в 2010 году равен .

Отсюда находим : , откуда .

Заметим, что в 2011 году номинальный ВВП тоже равен 2400 ().

Значит, темп прироста номинального ВВП в 2011 году равен 0%.

Нам осталось разобраться с ценами в 2008 году. Обозначим их и .

С одной стороны, номинальный ВВП в 2009 году вырос на 25%, откуда

, .

С другой стороны, темп прироста реального ВВП (то есть ВВП в ценах 2008 года) в 2011 году составил (-5%), и значит

, что то же самое, что .

Решая получившуюся систему, получаем , .

(б) Темп роста реального ВВП – это темп роста стоимости корзины произведенных товаров в ценах определенного (базисного) года, и потому этот темп роста существенно зависит от того, какой год принять за базисный.

Лужин воспользовался именно этим – он посчитал изменение реального ВВП, взяв в качестве базисного другой год, а именно 2010-й, и темп роста оказался положительным!

Действительно, посчитаем темп прироста реального ВВП в 2011 году, взяв за базисный 2010:

Можно проверить, что если взять за базисный 2009, или сам 2011, то темп прироста все равно окажется отрицательным, так что Лужину ничего не оставалось, как взять именно 2010-ый.

Как Лужин до этого додумался?

Как видим, производство одного товара в 2011 году выросло, а другого – упало. Чтобы итоговый темп роста ВВП был побольше, нужно постараться максимальный вес приписать тому товару, производство которого выросло – в нашем случае, товару Икс. Поэтому нужно подобрать такой базисный год, в котором цена Икса относительно цены Игрека максимальна – а это как раз 2010-ый год.

Задача № 9 (20 баллов)

Бинты

В аптеке продаются два вида бинтов — эластичный и неэластичный. Функции спроса на оба вида бинтов имеют линейный вид, однако при любой цене спрос на эластичный бинт эластичнее спроса на неэластичный бинт. Более того, известно, что в каждой точке ценового интервала (10;15) одна функция спроса является эластичной, а другая — неэластичной (при других значениях цены такого не происходит). Аптека является монопольным продавцом бинтов в своем районе, и закупает их для перепродажи по фиксированным ценам, а других переменных затрат не несет.

а) Известно, что в оптимуме аптека установила на бинты одинаковые цены, причем коэффициент эластичности спроса на эластичный бинт оказался в точке оптимума в 3,5 раза большим по модулю, чем коэффициент эластичности спроса на неэластичный бинт. Определите монопольную цену бинтов, а также цены их закупки.

б) Предположим, что поставщик бинтов предложил аптеке закупать у него бинты по единой цене, равной среднему арифметическому из первоначальных. Согласится ли аптека на такое предложение, если первоначально продажа каждого вида бинтов приносила ей половину выручки? Считаем, что аптека согласится, если ее максимальная прибыль в новом случае не меньше, чем ее прибыль в пункта а).

в) Поставщик бинтов, делая свое предложение, не знал об особенностях функций спроса на бинты, описанных в условии (он не знал даже об их линейности, не говоря уж об особенностях их эластичности). Он знал лишь то, сколько единиц каждого бинта покупала у него аптека, и по какой цене. Мог ли он, зная только это, определить, согласится аптека на его предложение или нет?

Решение:

(а). Восстановим функции спроса. Очевидно, что 10 и 15 – это «критические» точки функций спроса, соответствующие единичной эластичности. Для линейного спроса максимальная цена спроса ровно вдвое больше, чем цена в точке единичной эластичности, и значит, эти максимальные цены спроса равны 20 и 30. При этом нетрудно доказать, что более эластичный спрос имеет более низкую максимальную цену спроса (это понятно и интуитивно), и значит, 20 – максимальная цена спроса на эластичный бинт, 30 – максимальная цена спроса на неэластичный бинт.

Таким образом, и . (Переменные с индексом «э» относятся к эластичному бинту, а переменные с индексом «н» — к неэластичному; и — некие положительные параметры).

Нам известно, что в оптимуме , а также что

Из последнего уравнения находим, что .

Пусть закупочные цены на бинты равны и .

Тогда прибыль фирмы, как функция от цен на бинты, равна

Как видим, эта функция разбивается на два слагаемых, график каждого из которых является параболой с ветвями вниз. Оптимальные для фирмы цены находятся в вершинах этих парабол, то есть ровно посередине между корнями каждой из них:

и . (Тот же результат можно было получить, приравнивая на каждом из рынков предельный доход к предельным издержкам).

С другой стороны, как мы выяснили, , откуда находим , .

Итак, ответ на вопросы пункта (а) таков: , , .

(б) Данный пункт можно решить и без расчетов (см. решение п. (в)), однако для полноты картины приведем их.

Мы знаем, что , и что . Отсюда .

Значит, .

Первоначальная прибыль фирмы равна

Если аптека согласится, то новая (единая) цена бинтов составит 7.

Изначально неочевидно, станет аптеке лучше или хуже, ведь один бинт для нее подешевел, а другой подорожал.

В этих условиях аптеке будет выгодно назначить другие розничные цены на бинты:

и .

Новая прибыль фирмы составит

Чтобы сравнить эту прибыль с первоначальной, необязательно рассчитывать значение этого выражения, достаточно лишь, например, заметить, что

Значит, новая прибыль строго больше, чем старая, ему выгодно согласиться.

(в) Удивительно, но поставщику информации было достаточно — он совершенно определенно мог сказать, что фирма согласится на его предложение, даже не зная функции спроса и не производя расчетов.

Докажем, что если изначально объемы закупок бинтов равны (как в нашем случае), то фирме выгодно соглашаться на предложение поставщика, независимо от того, каковы функции спроса на бинты.

Заметим, что если в новых условиях фирма выберет «старые» объемы (устанавливая «старые» цены), то величина ее переменных издержек останется прежней:

раньше она была равна ;

теперь она равна .

Значит, и объем прибыли останется прежним (ведь функции конечного спроса на бинты не изменились). Итак, в новых условиях у фирмы всегда есть вариант действия (выбрать ), который принесет ей не меньшую прибыль, чем была у нее в старых условиях. А это значит, что и максимальная прибыль, которую фирма может получить в новых условиях, не меньше, чем старая (на самом деле она даже больше, потому что старые объемы в новых условиях не оптимальны — ей выгодно сократить закупки подорожавшего бинта и увеличить закупки подешевевшего).