Решение. Общие для обоих пунктов соображения

Общие для обоих пунктов соображения:

0) Допустим, страна хочет произвести единиц Икса. Вторая координата на КПВ в точке показывает максимально возможное производство Игрека при условии, что производится единиц Икса. Таким образом, чтобы найти КПВ, нам нужно решить следующую задачу: при каждом значении понять, сколько и каких заводов нужно построить стране, и как распределить между ними производство Игрека, так чтобы суммарное производство Игрека было максимальным.

1) Заметим, что при любом страна не будет строить больше одного завода по производству Игрека. Предположим противное – построено несколько заводов и на них в сумме произведен некий объем Игрека. Обозначим за минимальные удельные затраты труда на один Игрек среди построенных заводов. Тогда если бы страна построила всего один завод с удельными затратами , и произвела на нем объем Игрека, то затраты труда как на производство Игрека, так и на строительство заводов были бы меньше. Высвободившийся труд можно направить на производство дополнительных единиц Игрека, а значит, изначальное решение не было оптимальным. Противоречие.

2) Таким образом, задача сводится к тому, чтобы при каждом понять, (единственный) завод какого типа нужно строить стране, чтобы максимизировать производство Игрека.

а) Зафиксируем . После производства Икса у страны остается в распоряжении единиц труда. Если построить завод с первой технологией, то страна сможет произвести единиц Игрека. Если построить завод со второй технологией, то страна сможет произвести единиц Игрека. Если построить завод с третьей технологией, то страна сможет произвести единиц Игрека.

То, какой завод строить, определяется просто тем, какое из чисел больше при данном .

Проще всего это сделать, построив графики этих трех прямых. Искомой КПВ будет ломаная линия, являющаяся «верхней огибающей» трех этих графиков. Проведя такой анализ, видим, что при надо строить завод с третьей технологией, при - завод со второй технологией, а при - завод с первой технологией. При у страны нет достаточного количества ресурсов для постройки заводов), и максимальное производство Игрека будет равняться нулю.

Таким образом, уравнение КПВ имеет вид

Ее график – это ломаная с точками излома (45, 30), (60,15), (90,0).

б) Если страна тратит единиц труда на постройку завода, то для производства Y единиц продукции Игрек потребуется lY рабочей силы. Значит, общая рабочая сила раскладывается на слагаемые, задействованные в разных видах деятельности, следующим образом:
. Отсюда .

1) Заметим, что при эта функция убывает по l, то есть если мы хотим произвести меньше 90 единиц Х, то нужно выбирать минимально возможный . КПВ тогда будет иметь уравнение .

2) Функцию Y можно записать как , где . Если , то это парабола с ветвями вниз относительно t, вершина которой достигается при . Согласно условию задачи, t должно попасть в отрезок [1/2; 2], что эквивалентно попаданию X в отрезок [90,25; 91]. Получаем, что на данном участке уравнение КПВ имеет вид .

3) Что происходит при ? Парабола, описанная выше, достигает своей вершины вне этих множеств, значит, нужно выбрать ближайшую к вершине точку, то есть . При этом соответствующий участок КПВ будет описываться уравнением .

4) Что если ? Во-первых, заметим, что если страна произведет , то не сможет построить ни одного завода, так как — на строительство завода нужно не меньше 8 единиц труда. Значит, для производства ненулевого Y нужно произвести не больше 92 единиц X. Осталось рассмотреть . При таких значениях X парабола, описанная выше, достигает своей вершины вне допустимого множества, значит, нужно выбрать ближайшую к вершине точку, то есть . При этом соответствующий участок КПВ будет описываться уравнением .