Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция определена в интервале . Тогда предел называется несобственным интегралом. Если этот интеграл существует (т.е. равен какому – то числу), то он называется сходящимся. Если предел равен бесконечности или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах и :

,

.

Пример 12. Вычислить несобственный интеграл

.

Приложения определенного интеграла.

1. Площадь области, ограниченной кривой , осью и прямыми и равна

(17)

(площадь участков с должна браться по модулю). При параметрическом задании функции , будет равна

. (18)

В полярной системе координат площадь , ограниченная кривой и двумя лучами и равна

. (19)

2. Длина дуги плоской, дифференцируемой на отрезке кривой, заданной уравнением , равна

. (20)

При параметрическом задании кривой , равна

. (21)

В полярной системе координат длина дуги кривой, заданной уравнением , где , находится по формуле

. (22)

3. Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси , равна

. (23)

4. Объем тела, полученного вращением кривой вокруг оси , равен

. (24)