Пусть дана непрерывная на отрезке функция . Разобьем точками , на отрезков длиной (рис. 1) и составим сумму
, (13)
которая называется интегральной суммой для функции на отрезке .
Каждое слагаемое этой суммы приближенно равно площади прямоугольника высотой и с основанием , поэтому вся сумма (13) будет приближенно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , , отрезком на оси и кривой .
Если функция непрерывна на отрезке , то при всех существует предел суммы (13), не зависящий от способа разбиения отрезка . Этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Т.о.:
(14)
и формула (14) дает точное значение площади криволинейной трапеции.
Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:
, (15)
где - первообразная для функции .
Пример 11. Вычислить определенный интеграл
.
Используя формулу (15), получим:
.
При интегрировании по частям определенного интеграла справедлива формула:
. (15а)