Интегрирование иррациональных выражений

Интегралы вида

,

где - целые числа, сводятся к интегралу от рациональных функций заменой переменной , где - наименьшее общее кратное чисел (НОК ). Аналогичная подстановка делается, если вместо содержатся выражения вида или .

Пример 8. Вычислить интеграл

.

Т.к. НОК (2;3)=6, то делаем подстановку:

и

=

Переходя к переменной , получим:

Интегралы вида , где - вещественные числа, в общем случае вычисляются одной из подстановок Эйлера:

, ; (9)

, ; (10)

или , (11)

где и - различные вещественные корни трехчлена .

Пример 9. Вычислить интеграл

.

Используем 1–ю подстановку Эйлера (9): . Возведем в квадрат обе части равенства. После сокращения получим:

;

выразим теперь радикал через переменную :

.

Подставляя выраженные через величины в , получим:

.

Делая подстановку ; , получим: