Тройной интеграл

Пусть в пространстве в области , ограниченной замкнутой поверхностью , задана непрерывная функция . Тогда интеграл

(40)

называется тройным интегралом от функции по области .

Если – плотность вещества, то интеграл имеет смысл массы вещества, находящейся в объеме . Если , то

(41)

и интеграл (41) равен объему .

Вычисление тройного интеграла, аналогично двойному, делается сведением его к 3-х кратному интегралу. При этом область считается правильной, т.е. для нее выполняются следующие условия:

всякая прямая, параллельная оси , проведенная в , пересекает поверхность лишь в двух точках;

область проецируется на плоскость в правильную область (т.е. любые прямые, параллельные осям и , проведенные в , пересекают границу области лишь в двух точках).

Сказанное в п. 2 справедливо для проекции и на другие координатные плоскости ( и ).

Пусть поверхности , ограничивающие область снизу и сверху, описываются уравнениями: и соответственно.

На границе области обозначим через и уравнения дуг и , а через и – уравнения дуг и соответственно (рис. 5). Тогда интеграл (40) можно записать в виде 3 – х кратного интеграла

(42)

или

. (43)

Пример 17. Вычислить интеграл , где область ограничена плоскостями , , , (рис. 6).

Область представляет собой пирамиду, верхняя поверхность которой описывается уравнением , а нижняя – уравнением . Проекцией области на плоскость является треугольник, уравнение гипотенузы которого есть (это уравнение получается из уравнения при ). При интегрировании по координата изменяется от до . При интегрировании по координата изменяется от до . Т.о., интеграл можно записать в виде 3–х кратного интеграла