Уравнения с разделяющимися переменными

Самыми простыми дифференциальными уравнениями являются уравнения первого порядка:

.

Определение. Частным решением уравнения первого порядка называется решение, удовлетворяющее заданному начальному условию

,

где - заданная постоянная величина.

Самыми простыми дифференциальными уравнениями первого порядка являются уравнения вида

. (1)

Такие уравнения решаются простым интегрированием функции, т.е.

. (2)

Следующими по сложности являются дифференциальные уравнения вида

, (3)

для которых дифференциальная форма такова:

. (4)

Поскольку в уравнении (4) левая часть содержит лишь переменную и ее дифференциал, а правая – лишь переменную и ее дифференциал, то говорят, что в этом уравнении переменные и разделены.

Чтобы решить уравнение (4), нужно проинтегрировать обе его части:

. (5)

К решению уравнений вида (4) сводится интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Так называют уравнение

, (6)

правая часть которого является произведением функции от на функцию от .

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Приведем его к виду (4), т.е. разделим переменные:

.

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

;

В силу произвольности константы положим и запишем полученное равенство в виде:

Из школьного курса алгебры известна формула:

.

Тогда

Окончательно будем иметь:

- общее решение (или общий интеграл) данного дифференциального уравнения.

Ответ: .