Векторный метод

Задача 1. Доказать, что отрезок, соединяющий середины противоположных ребер правильного тетраэдра, есть общий перпендикуляр этих ребер.

Решение

Пусть ребро тетраэдра равно а. Введем векторы и MN (рис. 8). Пользуясь определением разности векторов, запишем: = - . Найдем скалярное произведение векторов: = = = 0

Следовательно, .

А это условие перпендикулярности векторов, т. е. DC ⊥ MN. Аналогично доказывается, что MN ⊥ АВ.

Рис. 8

Задача 2. Доказать, что если точки А, B, С, D таковы, что AB ⊥ CD,

AC ⊥ BD, то AD ⊥ BC.

Доказательство

Введем обозначения (рис. 9): = , = , = . Тогда ,

= , = . Так как по условию ⊥ и ⊥ , то

= 0 и т. е.

Раскрывая скобки и складывая почленно два полученных равенства, получаем - = 0. Тогда = 0, т. е. = 0, а это на векторном языке означает, что AD ⊥ ВС.

Рис. 9