2015-05-20
1198
Задача 1. Доказать, что если пятиугольник имеет две оси симметрии, то он правильный.
Доказательство
Пусть 
— пятиугольник (рис. 10) имеет две оси симметрии. Каждая из них проходит через вершину и середину противоположной стороны. Бели одна ось проходит через вершину 
и середину стороны 
, то имеем 
= 
, 
= 
, 
= 
, 
.
Если другая ось проходит через вершину и середину 
то имеем = , = , = 
, 
.
Сопоставляя полученные соотношения, получаем, что пятиугольник 
правильный.
Рис. 10
Задача 3. Дан квадрат ABCD (рис. 11, a). На стороне АВ и на диагонали АС взяты соответственно точки Р и Q так, что АР:РB = 3:2, AQ:QC = 4:1. Доказать, что величины углов треугольника PQD равны 45°, 45°, 90°.
Доказательство
Разделим квадрат ABCD на 25 маленьких квадратиков. В силу условия задачи точки Р и Q окажутся вершинами не которых из этих квадратиков (рис. 11, б). Так как прямоугольные треугольники, заштрихованные на рисунке, равны и один из них получается из другого поворотом вокруг точки Q на 90°, то мы имеем PQ = QD, ∠PQD = 90°. Видим, что ∆PQD является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой PD, следовательно, ∠PQD = 90°, ∠QPD = ∠PDQ = 45°.
|
|
|
Рис. 11
