Кривая Гаусса имеет следующие особенности

1. Кривая симметрична относительно .

2. При , кривая имеет максимум, равный: .

3. На расстоянии ± σ от вершины кривая имеет две точки перегиба А и Б, координаты которых равны: .

4. На расстоянии ± 3 σ от вершины кривой ее ветви так близки к оси абсцисс, что в пределах ± 3σ 99,73 % всей площади ограничивается кривой. Практически принято считать, что на расстоянии ± 3 σ от вершины кривой ее ветви пересекаются с осью абсцисс и в этих пределах заключена вся площадь кривой, т.е. 100,0 %. Погрешность в этом случае составляет 0,27 %, что допустимо при решении многих задач производства.

5. σ – это мера рассеяния, мера точности. При различных значениях средних квадратических отклонений кривые Гаусса представлены на рис. 1.15. На основании п.4 справедливо утверждение, что поле рассеяния равно

ω ≈ 6 σ. (1.27)

При определении s по данным непосредственных измерений заготовок и расчетов по формуле (1.10) погрешность определения среднего квадратического, обозначаемого в этом случае буквой S, зависит от общего количества N измеренных заготовок и в отдельных случаях весьма значительно. Учитывая это обстоятельство, для предотвращения воз­мож­ного появления брака целесообразно при использовании формулы (1.27) при­нять соотношение

σ = k _s× S,

где k _s - коэффициент, учитывающий погрешность определения среднего квадратического; S – среднее квадратическое, определяемое по формуле (1.10). Максимальная погрешность (D S) определения S выбирается по табл. 1.5.

Таблица 1.5

Значения максимальной погрешности D S определения S

N, шт.	D S, %	k σ	N, шт.	D S, %	k σ
	42,4	1,40		15,0	1,15
	30,0	1,30		12,2	1,12
	25,0	1,25		10,6	1,11
	21,2	1,20		10,0	1,10

В тех случаях, когда поле рассеяния параметров (размеров) превосходит поле допуска (ω > δ), условие обработки без брака не выполняется и брак является возможным.

Вероятный процент брака вычисляется следующим образом. При рассеянии размеров, соответствующих закону нормального распределения Гаусса, оценка точности принимается с погрешностью не более 0,27 %, что все детали партии имеют действительные размеры в пределах поля рассеяния

6 σ = x _max – x _min,

где x _max, x _min – максимальное и минимальное значения параметра (размера). При этом площадь, ограниченная кривой нормального распределения и осью абсцисс, равна единице и определяет 100% заготовок партии. Площадь заштрихованных участков (рис. 1.16) представляет собой количество деталей, выходящих по своим размерам за пределы допуска.

Для определения количества годных деталей необходимо найти площадь, ограниченную кривой и осью абсцисс на длине, равной допуску δ. При симметричном расположении поля рассеяния относительно поля допуска следует найти значение интервала, определяющего половину площади, ограниченной кривой Гаусса и абсциссой х ₁ (х ₂).

Функция распределения для нормального закона имеет вид:

. (1.28)

Для случая, когда распределение называют стандартным и функция распределения (1.28) имеет вид (см. рис. 1.17.):

. (1.29)

Таким образом, если случайная величина Х следует закону нормаль­ного распределения, то вероятность появления случайной погрешности определяется площадью, ограниченной кривой f (x) и ее частью и осью абсцисс:

. (1.30)

Подынтегральное значение есть элемент вероятности, равный площади прямоугольника с основанием dx и абсциссами x ₁ и x ₂, называемыми квантилями.

Произведем замену переменной: t = x / s, dx = s × d t

. (1.31)

Представим правую часть в виде суммы двух интегралов:

.

Интеграл вида

(1.32)

носит название нормальной функции Лапласа. Значения этого интеграла сведены в табл. (П.3). Таким образом, указанная вероятность (1.30) сводится к разности нормальных функций Лапласа

Р { x ₁ < x < x ₂ } = Ф (t ₂) – Ф (t ₁). (1.33)

Расчет количества годных деталей сводится к установлению величины t и определению Ф(t) по таблице с последующим пересчетом полученных величин в проценты или в число штук изделий.

В общем случае, когда , имеем следующую вероятность появления случайных погрешностей:

. (1.34)

Отметим свойства функции Лапласа: Ф(0) = 0; Ф(–х) = –Ф(х)(функция нечетная); Ф()=1/2. Из рис. 1.17 видно, что кривые F (х) и Ф(x) эквидистантны.

Если в равенстве (1.34) положить х ₁ = – , то

, (1.35)

так как Ф(– }= –Ф()= –1/2. Положив в соотношении (1.34) х ₂ = , находим:

. (1.36)

Пример 1.3. При измерении сопротивлений делителя напряжения установлено, чтосреднее значение этого сопротивления = 5,5 кОм, а среднее квадратическое отклонение = 1,5 кОм. Принимая нормальный закон распределения, найти вероятность появления сопротивлений свыше 10 кОм.

Решение. По равенству (1.36) и из таблиц (П3) находим:

Р (R >10) = 1/2 – Ф[(10 – 5,5)/1,5] = 0,5 – 0,4986 = 0,0014.

Пример 1.4. Определить количество бракованных и годных деталей, если допуск на обработку δ = 0,10 мм. Среднее квадратическое отклонение S = 0,02 (получено по результатам замеров 75 штук). Общее количество обработанных деталей – 300 шт.

Решение. 1. Определяем расчетное значение σ = k _s× S = 1,25×0,02 = 0,025 мм.

2. Поле фактического рассеяния ω = 6×σ = 6×0,025 = 0,15 мм превосходит поле допуска δ = 0,1 мм; следовательно, условие обработки без брака не выполнено и появление брака возможно.

3. x = δ/2 = 0,1/2 = 0,05; t = x/σ = 0,05/0,025 = 2,0. Ф(t) = 0,4772, что соответствует 47,72% годных деталей для половины партии. Для всей партии количество годных деталей – 95,44 % или 286 шт., а бракованных 4,56% или 14 шт.

Метод оценки точности на основе кривых распределения универсален и позволяет объективно оценить точность механической обработки, сборочных, контрольных и других операций. Недостаток метода – невозможность выявить изменение изучаемого параметра во времени, т.е. последовательности обработки заготовок, что не позволяет осуществить регулирование хода технологического процесса. Кроме того, переменные систематические погрешности нельзя отделить от случайных; это затрудняет выявление и устранение причин погрешностей. От этих недостатков свободен метод статистического регулирования технологического процесса.