Объекты с последовательным соединением элементов

Последовательное соединение элементов, по-видимому, является наиболее распространенной и наиболее простой для анализа надежности моделью объекта. Чтобы объект с последовательным соединением функционировал, все его блоки и элементы должны работать безотказно. Структурная схема надежности объекта с последовательным соединением элементов показана на рис. 3.1. В данном случае

,

и вследствие принятого нами допущения о независимости отказов

или

, (3.6)

где правая часть представляет собой произведение вероятностей безотказной работы элементов объекта.

Формула (3.6) выражает правило умножения вероятностей для независимых событий. Очень часто структура объекта требует применения именно этого правила для вычисления вероятности безотказной работы объекта. К сожалению, надежность объекта быстро убывает при увеличении числа последовательно соединенных элементов; надежность объекта всегда не превышает ее значения для наименее надежного элемента. Таким образом, для объекта с последовательным соединением элементов имеем

.

Приближенное вычисление вероятности безотказной работы объекта производится следующим образом. Пусть q – вероятность отказа i -го элемента. Тогда, полагая, что для всех элементов значения q одинаковы, имеем:

,

где правая часть представляет собой бином Ньютона.

Разложим бином Ньютона:

.

Полагая значение q малым, и отбрасывая члены высокого порядка, получаем:

.

При использовании этой аппроксимации полезно знать, что если N·q = 0,1, то получаем результат с точностью до двух десятичных знаков.

Приближенное выражение для надежности объекта с последовательным соединением элементов при различных значениях q_i имеет вид:

. (3.7)

Формула (3.7) справедлива при выполнении условия

.

На практике наиболее распространенной характеристикой надежности элементов является интенсивность отказов. Поэтому необходимо получить расчетные формулы для определения надежности объекта через интенсивности отказов элементов.

Вначале, продифференцировав по времени уравнение (3.6), получим:

.

Используя формулу (2.14), запишем

где L (t) – интенсивность отказов сложного объекта.

С учетом формулы (2.14) получим:

.

Из этой формулы следует выражение для интенсивности отказов объекта через интенсивности отказов элементов:

(3.8)

Таким образом, интенсивность отказов сложного объекта, состоящего из последовательно соединенных элементов, при сделанных выше допущениях равна сумме интенсивностей отказов элементов. С использованием интенсивностей отказов элементов расчет надежности сводится к их суммированию и определению по формуле вероятности безотказной работы объекта

.

Обычно в объект входит несколько групп однотипных элементов. Если предположить, что интенсивности отказов в группах однотипных элементов одинаковы, то формулы (3.6) и (3.8) соответственно приобретают вид:

где k – число групп однотипных элементов в объекте; n_i – число элементов i -й группы: n ₁ + n ₂ + … + n_k = N.

В частном случае, при экспоненциальном законе надежности (п. 2.4), формулы для расчета интенсивности отказа, интенсивности восстановления, вероятности безотказной работы и времени наработки до отказа объекта упрощаются и принимают вид:

(3.9)

(3.10)

; (3.11) (3.12)

Среднее время восстановления сложного объекта

, (3.13)

где Т _{в i} – время восстановления i -го элемента, является математическим ожиданием времени восстановления, взвешенным по интенсивности отказов n последовательно соединенных элементов.

Вероятность отказа последовательной структуры определится:

. (3.14)

Если все элементы равнонадежны, т.е. P_i (t) = P (t), Q_i (t) = Q (t), то формулы (3.6) и (3.14) принимают вид:

(3.15)

(3.16)

Формулы (3.9)…(3.16) являются основными для расчета надежности объекта, состоящего из последовательно соединенных элементов.

Пример 3.1. Определить интенсивность отказов, среднее время восстановления, среднее время безотказной работы и вероятность безотказной работы в течение 1 года системы, состоящей из 5 последовательно соединенных элементов со следующими показателями надежности:

λ₁ = 0,50 год^-1; Т _в1 = 16,0 ч;

λ₂ = 0,32 год^-1; Т _в2 = 8,0 ч;

λ₃ = 0,30 год^-1; Т _в1 = 6,0 ч;

λ₄ = 0,64 год^-1; Т _в4 = 12,5 ч;

λ₅ = 0,001 год^-1; Т _в5 = 15,0 ч.

Решение.

Интенсивность отказов системы

год^–1.

Среднее время восстановления

=1,761^–1(0,50·16,0+0,32·8,0+0,30·6,0+0,64·12,5+0,001·15,0) = 11,57 ч.

Среднее время безотказной работы

Т ₁ = ^–1 = 1/1,761 = 0,568 год = 4974 ч.

Вероятность безотказной работы за 1 год

Р _с(t) = ехр (–1,761·1) = 0,17.

Пример 3.2. Оценить надежность изделия на этапе технического проектирования. В техническом задании на изделие заданы следующие количественные показатели надежности:

Р (t) = 0,9; s_{Р( t )} = 0,03; t = 40 ч; К_г = 0,99.

По результатам анализа конструкторской документации установлено, что структурная схема надежности изделия представляет собой последовательное соединение функционально законченных четырех устройств (N = 4) (рис. 3.1).

Расчет надежности проводят по статистическим данным испытаний изделий-аналогов (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Статистические данные испытаний изделий-аналогов

Номер устройства по ССН	Наименование и обозначение по чертежу	Время работы, ч	Наработка на отказ Т0 i, ч	Среднее время восстановления отказа Тв i, ч
	Устройство силового привода СБ01 Устройство управления СБ02 Устройство сигнализации СБ03 Устройство связи СБ04

Решение. Принимая допущение об экспоненциальном законе распределения наработки на отказ, определим вероятность безотказной работы для каждого устройства ССН:

· силовой привод:

;

· устройство управления:

;

· устройство сигнализации, (работает всего 10 ч, поэтому время хранения составляет 30 ч):

;

· вероятность безотказной работы устройства связи. Для этого устройства время хранения составляет 20 ч. Поэтому получим

.

Тогда вероятность безотказной работы изделия в целом определится

P (t) = P ₁(t ₁) P₂(t ₂) P ₃(t₃) P ₄(t ₄) = 0,96×0,95×0,992×0,99» 0,896.

Для нахождения среднего квадратического отклонения предварительно определим интенсивности отказов:

; ;

; ,

откуда среднее квадратическое отклонение s _{P ( t )} изделия в целом (2.17) равно:

Для определения коэффициента готовности найдем среднее значение наработки на отказ и среднее время восстановления отказа:

По формуле (2.36) определим коэффициент готовности

.

Знак «*» обозначает, что значения получены по статистическим данным. Полученные расчетные значения показателей надежности удовлетворяют требованиям технического задания.