Основные сведения из теории вероятностей

Расчеты надежности систем основаны на использовании основных теорем теории вероятностей.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В или обоих вместе. Если события А и В несовместны, то появление обоих этих событий вместе исключено, и сумма событий А и В сводится к появлению события А или события В. Следовательно, суммой событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). (3.1)

Из теории вероятностей следует:

· если события А ₁, А ₂,…, А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице;

· сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

В случае, когда события А и В совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ). (3.2)

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А | В).

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т.е.

Р (АВ) = Р (А) Р (В | А) = Р (В) Р (А | В). (3.3)

Из теоремы умножения вероятностей следует, что если событие А не зависит от события В, то событие В не зависит от события А, т.е. если Р (А)= Р (А | В), то Р (В) = Р (В | А). Таким образом, зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим можно дать следующее новое определение независимых событий: два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.