Объекты с параллельным соединением элементов

Основным способом повышения надежности и снижения техногенного риска является структурное резервирование, которое реализуется путем введения в систему дополнительных элементов, узлов, блоков. Резервирование характерно тем, что оно позволяет повысить надежность системы по сравнению с надежностью составляющих ее элементов. Повышение надежности отдельно взятых элементов требует больших материальных затрат. В этих условиях резервирование, например, за счет введения дополнительных элементов является эффективным средством обеспечения требуемой надежности систем.

Если при последовательном соединении элементов общая надежность системы ниже надежности самого ненадежного элемента, то при резервировании общая надежность системы может быть выше самого надежного элемента.

Существует два метода повышения надежности систем путем структурного резервирования:

1) общее резервирование, при котором резервируется система в целом;

2) раздельное (поэлементное) резервирование, при котором резервируются отдельные части (элементы) системы.

На рис. 3.7 представлены схемы общего и раздельного структурного резервирования, где n – число последовательных элементов в цепи, m – число резервных цепей. При m = 1 имеет место дублирование, а при m = 2 – троирование.

В зависимости от способа включения резервных элементов различают постоянное резервирование, резервирование замещением и скользящее резервирование.

Постоянное резервирование – это такое резервирование, при котором резервные элементы участвуют в работе объекта наравне с основными элементами. В случае отказа основного элемента не требуется специальных устройств, вводящих в действие резервный элемент, поскольку он включается в работу одновременно с основным.

Резервирование замещением – это такое резервирование, при котором функции основного элемента передаются резервному элементу только после отказа основного. При резервировании замещением необходимы контролирующие и переключающие устройства для обнаружения факта отказа основного элемента и переключения с основного на резервный элемент.

Скользящее резервирование представляет собой разновидность резервирования замещением, при котором основные элементы объекта резервируются элементами, каждый из которых может заменить любой отказавший элемент.

Оба вида резервирования имеют свои преимущества и недостатки.

Достоинством постоянного резервирования является простота, так как в этом случае не требуются контролирующие и переключающие устройства, понижающие надежность системы в целом, и, самое главное, отсутствует перерыв в работе. Недостатком постоянного резервирования является нарушение режима работы резервных элементов при отказе основных.

Включение резерва замещением не нарушает режима работы резервных элементов, сохраняет в большей степени надежность резервных элементов, позволяет использовать один резервный элемент на несколько рабочих (при скользящем резервировании).

В зависимости от режима работы резервных элементов различают нагруженный (горячий) и ненагруженный (холодный) резерв.

Нагруженный (горячий) резерв в энергетике называют также вращающимся или включенным. В данном режиме резервный элемент находится в том же режиме, что и основной. Ресурс резервных элементов начинает расходоваться с момента включения в работу всей системы, и вероятность безотказной работы резервных элементов в этом случае не зависит от того, в какой момент времени они включаются в работу.

Облегченный (теплый) резерв характеризуется тем, что резервный элемент находится в менее нагруженном режиме, чем основной. Поэтому, хотя ресурс резервных элементов также начинает расходоваться с момента включения всей системы в целом, интенсивность расхода ресурса резервных элементов до момента их включения вместо отказавших элементов значительно ниже, чем в рабочих условиях. Этот вид резерва обычно размещается на агрегатах, работающих на холостом ходу, и, следовательно, ресурс резервных элементов срабатывается меньше по сравнению с рабочими условиями, когда агрегаты несут нагрузку. Вероятность безотказной работы резервных элементов в случае этого вида резерва будет зависеть как от момента их включения работу, так и от того, насколько отличаются законы распределения вероятности безотказной работы их в рабочем и резервных условиях.

Ненагруженный (холодный) резерв – резервные элементы начинают расходовать свой ресурс с момента их включения в работу вместо основных. В энергетике этим видом резерва служат обычно отключенные агрегаты.

Расчеты надежности систем с параллельно включенными элементами зависят от способа резервирования.

Рассмотрим структурную схему надежности объекта с параллельным соединением элементов или с постоянно включенным резервом (рис. 3.7). Элемент с номером 0 является основным, а элементы с номерами 1,2,…, m. Общее число элементов в системе n = m +1, где m – кратность резервирования – отношение числа резервных элементов к числу основных. В данном случае отказ системы наступит при отказе элемента с максимальным временем работы.

При выводе расчетных формул принимаются следующие допущения:

· отказы отдельных элементов объекта независимы;

· все элементы характеризуются одним типом отказа;

· объект отказывает лишь только при отказе всех его элементов.

Вероятность безотказной работы объекта вычисляется следующим образом. Пусть Q (t) – вероятность отказа объекта, тогда

где – событие, противоположное событию , т.е. событие, состоящее в отказе i- го элемента объекта .

Учитывая допущение о независимости отказов элементов, получим:

(3.17)

где – вероятность безотказной работы i -го элемента; q_i (t) – вероятность отказа i -го элемента.

Если вероятность отказа элемента q_i (t) в формуле (3.17) выразить через вероятность безотказной работы q_i (t) = 1- P_i (t),то получим выражение

Тогда вероятность безотказной работы объекта будет равна

. (3.18)

При параллельном соединении двух элементов в случае простоя одного из элементов, причем неважно, по какой причине, второй элемент не выводится из работы и питание не нарушается. Это справедливо для систем с любым количеством параллельно соединенных элементов. Для структуры, состоящей из двух параллельно соединенных элементов 1 и 2, частота отказов определится:

ω_с = ω₁ω₂·(Т _в1+ Т _в2) (3.19)

или

ω_с = ω₁ω₂(Т _в1+ Т _в2)·8760^–1. (3.20)

Среднее время восстановления

Т _вс = Т _в1 Т _в2 (Т _в1+ Т _в2)^–1. (3.21)

В общем случае для структуры, состоящей из m параллельно соединенных элементов, частота отказов

(3.22)

или

(3.22')

используя интенсивность восстановления

(3.23)

среднее время восстановления

(3.24)

Для системы с равнонадежными элементами:

, (3.25)

(3.26)

В процессе функционирования системы возможен случай, когда один из элементов простаивает, а второй – отказывает. В этом случае, если система состоит их двух параллельных элементов, она отказывает. Частота отказов в таком случае представлена в виде трех слагаемых

Ω_с = ω⁰+ , (3.27)

где ω⁰– возможность отказа одного из элементов во время простоя второго элемента после отказа; ω ' – возможность отказа первого элемента во время простоя после преднамеренного отключения второго элемента; ω '' – возможность отказа второго элемента при простое после преднамеренного отключения первого элемента. Чем чаще и продолжительнее преднамеренные отключения, тем больше ω ' и ω '' и тем ниже надежность системы.

Частоты отказов и среднее время восстановления системы, состоящей из двух параллельно соединенных элементов, рассчитывают по формуле

ω_с = [ω₁ω₂(Т _в1+ Т _в2) + ω₁ν₂ Т _об2+ω₂ ν₁ Т _об1]·8760^–1; (3.28)

Т _вс = ω_с^-¹(ω⁰ Т _в⁰+ ω ' Т' _в+ ω '' Т'' _в), (3.29)

где

Т _в⁰ = Т _в1 Т _в2 (Т _в1+ Т _в2)^–1; Т _в ' = Т _в1 Т _об2(Т _в1 + Т _об2)^–1; Т _в '' = Т _в2 Т _об1(Т _в2 + Т _об1)^–1. (3.30)

В общем случае для системы из m параллельно соединенных элементов

(3.31)

где ω⁰ вычисляется по формуле (3.22).

(3.32)

, (3.33)

где Т _в⁰ вычисляется по формуле (3.24)

Т _в _r = (3.34)

Пример 3.3. Определить показатели надежности схемы, представленной на рис. 3.8,а. Питание узла нагрузки осуществляется по кабельной и воздушной линиям. Показатели надежности выключателей и шин РУ не принимаются во внимание.

Решение. Схема замещения (рис. 3.8,б) состоит из двух параллельно соединенных элементов 1 и 2. Характеристики приведены в табл. 2.2:

ω₁= 0,25·10 =2,5 год^–1; Т _в1 = 10 ч; ν₁ = 0,2·10 = 2,0 год^–1; Т _об1 = 8 ч;

ω₂= 0,1·3 = 0,3 год^–1; Т _в2 = 25 ч; ν₂ = 0,5·3 = 1,5 год^–1; Т _об2 = 20 ч.

По формулам (3.28)…(3.30):

ω_с = ω⁰+ = 3,00·10^–3 + 8,56·10^–3+ 0,56·10^–3 = 12,11·10^–3 год^–1;

Т _в⁰ = 10·25(10+25)^–1 = 7,14 ч; Т _в ' = 10·20(10+20)^–1 = 6,67 ч;

Т _в '' = 25·8(25+8)^–1 = 6,06 ч;

Т _вс = 12,11^–1(3,00·7,14+8,56·6,67+0,56·6,06) = 6,76 ч.

На практике наиболее часто имеют место случаи, когда основная система и все резервные одинаковы и имеют вероятность безотказной работы P (t). Тогда

(3.35)

Если число параллельно соединенных элементов m = 2, то формула вероятности безотказной работы имеет вид

P _c(t) = P ₁(t) + P ₂(t) – P ₁(t) P ₂(t). (3.36)

Вероятность отказа обоих элементов

Q _c(t) = Q ₁(t) Q ₂(t) = [1– P ₁(t)] [1– P ₂(t)] = 1– P _c(t). (3.37)

Так как f (t) = Q' (t), то

тогда

(3.38)

Определим интенсивность отказов λ_с(t) резервированной системы с постоянно включенным резервом. По определению интенсивности отказов получаем:

Получим расчетные формулы для случая равнонадежных систем и постоянной интенсивности отказов элементов λ₀= λ₁=…= λ _m = λ. В этом случае вероятность безотказной работы системы определится по формуле:

. (3.39)

Выражение для интенсивности отказов системы можно получить из соотношения:

Подставляя в это соотношение Р _с(t) из (3.39) и его производную, получим:

. (3.40)

Получим выражение для среднего времени безотказной работы системы. Из выражения (3.39) следует, что

Вычислив интеграл, получим

. (3.41)

Так как среднее время безотказной работы нерезервированной системы Т ₀ = 1/λ, то

. (3.42)

Из формулы (3.42) видно, что с ростом кратности резервирования среднее время безотказной работы системы растет медленно.

Существуют технические системы, часто называемые мажоритарными (резервирование с голосованием по большинству), с дробной кратностью резервирования , где m – число резервных элементов, n – общее число элементов.

Мажоритарная система будет работоспособной в течение времени t (событие А) при отказе не более чем m элементов. Пусть A_i – событие, состоящее в отказе любых элементов i (0≤ i ≤ m) элементов за время t. Тогда

Событие A_i произойдет, если откажут любые i элементов, а остальные n–i элементов останутся работоспособными. Вероятность этого события выражается формулой Бернулли:

P (A_i) = C_nⁱQⁱ (t) Рⁿ^-ⁱ (t). (3.43)

Поскольку события A_i попарно несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

(3.44)

Так как f _c(t) = – P' _c(t), то, используя формулу (3.44) и, произведя преобразования, получаем

f_c (t) = (n–m) C_n^mQ^m (t) Рⁿ^-^m^- ¹(t).

Найдем теперь интенсивность отказа мажоритарной системы:

(3.45)

или

. (3.45 ')

В случае системы с резервом замещения (рис. 3.7,в) отказ системы наступает при отказе нулевого элемента, затем первого, второго и т.д., т.е. всех (m +1) элементов.

Это значит, что общее время до отказа системы равно сумме времен до отказа элементов . Из теории вероятностей известно, что плотность суммы независимых случайных величин равна свертке плотностей слагаемых, поэтому

f _c(t) = f ₀· f ₁·…· f_m (t).

На практике в большинстве случаев резервирование замещением осуществляется однотипными системами, когда основная система и все резервные равнонадежны. В этом случае вероятность безотказной работы определится

(3.46)

где f (t) – плотность распределения времени безотказной работы, f *⁽ ⁱ ⁾(t) = f · f ·…· f (t) – i- кратная свертка плотностей, P (t) – вероятность безотказной работы каждой системы.

Для случая, когда интенсивность отказов λ является величиной постоянной, формула для вероятности безотказной работы будет иметь вид

. (3.46')

Формула для среднего времени безотказной работы имеет вид

Т ₁ = (m +1) Т ₀, (3.47)

где Т ₀ – среднее время безотказной работы основной системы.

В общем случае для m резервных элементов среднее время безотказной работы Т ₁ и коэффициент готовности K _г соответственно будут определяться

(3.48)

где Θ₀ = 1, Θ₁ = Λ₀/ М ₁, Θ₂ = Λ₀Λ₁/(М ₁ М ₂), Θ _m ₊₁ = Λ₀…Λ _m / M ₁… M_m ₊₁), Λ₀ = n λ, Λ₁= (n– 1)λ, Λ₂ = λ, М ₁ = μ; М ₂= 2μ.

При нагруженном резервировании с дробной кратностью

Т ₁ = 1/(r λС_n ^r γ ⁿ^-^r); K _г = 1 – C _nⁿ^-^m⁺ ¹γ ⁿ^-^r⁺ ¹,

где n – общее число элементов; n–r – число резервных элементов; r – минимальное число работающих элементов; γ = λ/μ.

Мажоритарное резервирование широко применяется в системах защиты реакторов и теплотехнического оборудования

Пример. 3.4. Время безотказной работы элементов подчинено экспоненциальному закону с λ = 3·10^–5 1/ч, время работы изделия t = 20000 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности резервированного изделия при общем ненагруженном резервировании замещением с кратностью m = 3.

Решение. Вероятность безотказной работы вычислим по формуле (3.46')

Найдем вначале значение: λ t = 3·10^–5·2·10⁴ = 0,6. Подставляя это значение в выражение для P _c(t), получим