Отделение корней

Для использования при нахождении действительных корней уравнения (2.1) численных методов требуется знать интервал аргумента [x_k,x_k+1], на котором функция меняет знак на противоположный. Можно утверждать, что на таком интервале будет хотя бы один корень уравнения (2.1).

На рис.2.1 изображен график функции, имеющей корни на интервале [x₁,x₄]. На интервалах [x₁,x₂], [x₂,x₃] и [x₃,x₄] находятся корни уравнения. Если шаг h изменения аргумента х велик, может произойти потеря корней (интервал [x₂,x₃]).

Этап нахождения интервалов аргумента, где находятся корни уравнения, называется этапом отделения корней. Для этого на исследуемом интервале аргумента х рассчитываются значенияфункции f(x), при изменении значения х с достаточно малым шагом h. Полученные значения х и f(x) заносят в таблицу и строят график функции f(x). Далее находят интервалы существования корней и уточняют их значения одним из численных методов.

Все численные методы поиска корней уравнений являются итерационными, или методами последовательного приближения к результату. С каждым последующим шагом (при благоприятных условиях) значение аргумента приближается к корню. В практических задачах поиск корня ведется с определенной, заранее заданной максимальной погрешностью , приемлемой для конкретной задачи. Условием окончания итерационного процесса будет следующее неравенство:

, (2.2)

где - два последовательных шага итерации.

На практических занятиях предлагается самостоятельно написать программу, результатом работы которой будут интервалы, содержащие корни исследуемой функции. Расчет значений функции на каждом шаге предлагается оформить как процедуру-функцию.