Вычислительный эксперимент

Лекция №1

Цели и задачи дисциплины

Математическое моделирование в электромеханике

Целью изучения дисциплины является получение будущими специалистами теоретических и практических знаний по основным методам и алгоритмам вычислительной математики, применяемым в различных областях электротехники, при моделировании и исследовании электрических машин.

В результате изучения дисциплины студент должен знать основные методы вычислительной математики и их программную реализацию на одном из алгоритмических языков высокого уровня (Паскаль), уметь применить их на практике при математическом моделировании процессов и явлений в электрических машинах и других электромеханических и электротехнических устройствах. Она опирается на базовые дисциплины естественно-научного и общетехнического циклов направления 654500- "Электротехника, электромеханика и электротехнологии" и, главным образом, на "Физику", "Высшую математику, "Теоретические основы электротехники", "Электрические машины".

Вычислительный эксперимент

Повсеместное распространение вычислительной техники, увеличение быстродействия ЭВМ, объема их оперативной и внешней памяти позволяет все больший объем исследовательских, расчетных и проектных работ в электротехнике выполнять с их помощью. Один из способов применения ЭВМ - расчет математических моделей изучаемых объектов (электрических машин, аппаратов и их комплексов) и анализ его результатов. Такой метод исследований называют вычислительным экспериментом [6]. Схему вычислительного эксперимента можно представить следующим образом (рис.1.1).

Выберем объект исследования - катушку электромагнита замка, подключаемую к осветительной сети через ключ К и полупроводниковый диод (рис.1.2). Даже в таком простом объекте можно выделить основные составляющие - источник питания, выпрямитель и нагрузку - катушку электромагнита.

При моделировании реальные устройства заменяются их расчетными аналогами, в которые вводят различные допущения, упрощающие математическое описание объекта исследования. Следует отметить, что оценка погрешностей, которые вносят различные допущения, является, особенно для малоизученных объектов, трудоемкой задачей. Очень многое зависит здесь от опыта и интуиции исследователя.

В нашем примере вполне правомерны следующие допущения.

1. Напряжение источника питания не зависит от величины тока электромагнита, то есть он является источником электродвижущей силы - (ЭДС) - е(t).

2. Диод выпрямителя заменяется активным сопротивлением R_D, величина которого мала в прямом направлении - R_пр и велика в обратном - R_обр.

3. Нагрузка выпрямителя (катушка электромагнита) заменяется последовательно включенными активным сопротивлением провода, из которого намотана катушка - R_Н, и индуктивностью катушки L_Н.

При данных допущениях математическая модель нашего устройства будет состоять из одного уравнения для тока i, протекающего по катушке электромагнита.

На основании второго закона Кирхгофа [4] можно записать для мгновенных значений ЭДС источника и напряжений на диоде и катушке уравнение равновесия напряжений:

. (1.1)

Выразив напряжения через соответствующие токи и параметры цепи, получим

, (1.2)

где - производная тока катушки по времени.

Разрешим уравнение (1.2) относительно производной тока i:

. (1.3)

Полученное уравнение является математической моделью электромагнита замка при принятых нами допущениях. Уравнение (1.3), в которое в качестве неизвестного входит производная тока , называется дифференциальным. Решив дифференциальное уравнение, мы получим зависимость тока катушки электромагнита от времени i = f(t).

Рассмотрим случай, когда ЭДС источника изменяется по синусоидальному закону (см. рис.1.3,1.4).

(1.4)

где t – время; Т - период синусоиды; начальная фаза ЭДС; Е_m – амплитудное (максимальное) значение ЭДС.

Величина, обратная периоду, называется круговой частотой или просто частотой: . Частота измеряется в герцах (периодах в секунду). Частота промышленного напряжения в России равна 50 Гц, т.е. его период равен 0.02 с. Соотношение называется угловой частотой и обозначается . Угловая частота измеряется в радианах в секунду. Часто при изображении на графиках периодических величин в качестве аргумента берут не время t, а произведение wt. Это позволяет перейти от рассмотрения промежутков времени к углам, что, как правило, более удобно и наглядно. При этом период любой величины независимо от частоты будет равен 2p.

B случае синусоидальной ЭДС уравнение (1.3) имеет аналитическое решение (1.5) [4].

, (1.5)

где - амплитуда тока; начальная фаза тока.

Это в дальнейшем позволит нам провести сравнение численных методов, приняв аналитическое решение за эталон.

Для проведения вычислений по формуле (1.5) была составлена программа, результаты расчетов которой были представлены в виде графиков и приведены на рис. 1.3, 1.4 и 1.5.

Следует отметить, что изменение начальной фазы ЭДС источника приводит к изменению характера кривой тока в первые периоды после включения. На рис.1.5 изображен график кривой тока катушки при включении постоянной ЭДС и отсутствии диода (R_D = 0).

"Постоянная" ЭДС источника на рис. 1.5. была получена следующим образом. Начальная фаза ЭДС j_е была задана , а период в - 100 раз больше исходного. Это позволило, не меняя уравнений модели, провести вычислительный эксперимент по включению катушки электромагнита на постоянное напряжение.

Кривая, по которой изменяется ток на рис.1.5, называется экспонентой. Ее основное свойство заключается в том, что отрезок, который отсекает касательная к ней на оси абсцисс (или на прямой, к которой стремится экспонента при возрастании - асимптоте), в любой точке неизменен. В электротехнике он носит название постоянной времени электрической цепи [4]. Постоянная времени измеряется в секундах и обозначается . Она характеризует скорость нарастания или затухания процессов в электрических цепях и электромеханических устройствах (электрических машинах), обусловленную параметрами самого устройства - сопротивлениями, индуктивностями, емкостями, массами. Для модели электромагнита замка постоянная времени равна: , т. е. чем больше индуктивность катушки, тем инерционней будет электрическая цепь. Кроме параметров системы, на скорость и характер изменения токов и напряжений влияют внешние силы. В электрических цепях это ЭДС, в электрических машинах присутствуют еще и электромеханические силы.

Как видно, мы получили в достаточной мере универсальную математическую модель электромагнита замка, позволяющую провести вычислительные эксперименты, как при синусоидальном, так и при постоянном напряжении источника, при наличии или отсутствии диода. Все это легко достигается изменением параметров отдельных частей моделируемого устройства и источника питания.

Усложнение математической модели приводит к тому, что аналитическое решение уравнения или системы уравнений объекта (1.3) получается громоздким или невозможным. Тогда приходится применять численные методы решения. Под численным методом понимается такая интерпретация исходной математической модели, которая может быть непосредственно решена на ЭВМ.

Само название “численные методы” подразумевает решение ввиде числа или таблицы чисел, которые потом можно представить в виде графической зависимости. Чтобы реализовать численный метод, необходимо составить программу для ЭВМ или воспользоваться готовой программой.