Метод Ньютона (касательных)

Метод Ньютона обладает наиболее высокой скоростью сходимости к корню, но требует знания и вычисления в процессе поиска корня не только самой функции f(x), но и ее первой производной

Если известно начальное приближение х₀, то следующее значение аргумента х₁ вычисляется по формуле

Для k-го шага итерационного процесса получим:

(2.4)

Итерационный процесс заканчивается, когда . Скорость сходимости метода Ньютона такова, что точность 10^-5-10^-6 достигается за 4-5 итераций. Можно, уменьшив скорость сходимости метода, вычислить производную только в начальной точке х₀. Получим алгоритм, называемый модифицированным методом Ньютона.

. (2.5)

Программная реализация метода Ньютона выполнена в виде процедуры-подпрограммы Newton (ПРОГРАММА 2.1). Вся процедура практически состоит из одного цикла Repeat... Until, реализующего формулу (2.4) с учетом условия прекращения итерационного процесса (формула (2.2)). В процедуру Newton встроена защита от зацикливания путем подсчета числа циклов с помощью переменной Niter..

На рис.2.4 проиллюстрирован поиск корня методом Ньютона. Если взять за начальное приближение точку х₁, то будет одностороннее приближение к корню.

На практических занятиях студентам предлагается изменить процедуру Newton так, чтобы она могла применяться для реализации модифицированного метода Ньютона.

Метод Ньютона с его модификациями [1,9] применим для поиска не только действительных, но и комплексных корней уравнений и решения систем уравнений нелинейных уравнений.