Методы Рунге-Кутты

В зависимости от старшей степени h, с которой учитываются члены ряда Тейлора, построены вычислительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности.

Рассмотрим методы второго порядка. Для них получено однопараметрическое семейство схем вида [5].

где - свободный параметр; .

Локальная погрешность данной схемы имеет третий порядок, глобальная - второй, т.е. решение ОДУ полученное по этой схеме, равномерно сходится к решению с погрешностью О(h²).

Для параметра L наиболее часто используются значения L= 0.5 и L =1.

В первом случае формула (4.17) приобретает вид:

, (4.17)

во втором:

. (4.18)

Геометрическая интерпретация метода в обоих вариантах представлена на рис 4.4.В случае а) сначала делается прогноз по методу Эйлера (точка y_э), затем рассчитывается значение производной в этой точке, берется полусумма этих значений и из начальной точки проводится прямая под полученным углом. Ее пересечение с прямой x₀+h дает искомый результат y₁. В случае б) сначала находится значение функции на половине шага по методу Эйлера y_h_/2. Далее из начальной точки проводится прямая под полученным углом. Ее пересечение с прямой x₀+h дает искомый результат y₁. Процедура, реализующая приведенные методы, приведена ниже (ПРОГРАММА 4.3).

Как и процедура, реализующая явный метод Эйлера, процедура R_Kutt2 имеет дальний способ вызова Far, что необходимо для реализации вызова функции расчета производной как параметра. С точки зрения точности решения обе приведенные схемы эквивалентны. На рис 4.5 изображены абсолютные погрешности (по отношению к точному аналитическому решению) явного метода Эйлера и метода Рунге - Кутты второго порядка. Как видно из графика на рис.4.5, точность метода второго порядка при одном и том же шаге аргумента значительно выше, чем первого. Но при этом нужно провести больше расчетов: три вызова функции F при L=0.5 вместо одного в методе первого порядка.