2015-05-20
499
Уравнение вида у = х·φ(у') + ψ(у') (15)
где φ и ψ известные функции от у' = 
называется уравнением Лагранжа.
Обозначим у' = р.
Тогда уравнение примет вид у = х·φ(р) + ψ(р). (16)
Дифференцируя по х, получим: р=φ(р)+(хφ′(р)+ φ′(р)) 
, откуда
т.е. р–φ(р) = хφ′(р)+ φ′(р) (17) – линейное уравнение относительно х = х(р).
Его решение х = λ(р;с). (18)
Исключая параметр р из уравнений (16) и (18), получаем общий интеграл уравнения (15) в виде у = φ(х; с).
Переходя к уравнению (17), мы делили на 
. При этом могли быть потеряны решения, для которых = 0, т. е. р = ро = соnst.. Это значение ро является корнем уравнения р—φ(р) = 0 (17).
Решение у = х·φ(ро)+ψ(ро) является особым для уравнения (15).
