Уравнение Клеро

Частный случай уравнения Лагранжа при φ (у') = у '.

у = х·у' + ψ(у') - уравнение Клеро (19).

Приняв у' = р, получаем: у = хр + ψ(р) (20)

Дифференцируя по х, имеем

р = р + х· + ψ'(р)· или (х + ψ'(р))· = 0

Если = 0, то р = с. Поэтому, с учетом (30), ДУ (19) имеет общее решение

у = хс + ψ(с) (21)

Если х = – ψ'(р), у = хр + ψ(р) (22).

Это решение особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

Пример. Решить уравнение Клеро у = ху' + у'².

Решение: Общее решение, согласно формуле (21), имеет вид у = = сх + с². Особое решение уравнения получаем согласно формулам (22) в виде х = –2р, у = хр+р². Отсюда следует: , т.е.

Практическое занятие

Тема 5. Уравнения Лагранжа и Клеро