Лекция 13. Условия применимости рассмотренных методов получения псевдослучайных чисел с заданными законами распределения

Условия применимости рассмотренных методов получения псевдослучайных чисел с заданными законами распределения:

- метода обратной функции – когда удаётся найти обратную функцию;

- метода Неймана – для моделирования случайных величин, имеющих сравнительно мало изменяющиеся функции плотности распределения.

- приближённого метода – когда метод обратной функции неприменим, а метод Неймана – неэффективен.

Экспериментальная проверка соответствия полученных последовательностей ПСЧ законом распределения. Проверка степени соответствия реализаций случайных величин соответствующим законам распределения осуществляется с помощью критериев согласия. Критерий согласия позволяет оценить вероятность того события, что полученная выборка не противоречит сделанному предположению о виде закона распределения случайной величины.

К одним из наиболее часто используемых в практике обработки результатов машинных экспериментов является критерий Пирсона (критерий «хи-квадрат» ).

В критерии Пирсона за меру расхождения между эмпирическим и теоретическим законами распределения принимается величина, значение которой определяется по формуле

где l – число разрядов (интервалов), на которое разбиты все опытные значения случайной величины ξ; N – объём выборки; m_i – численность i -го разряда; p_i – вероятность попадания случайной величины ξ в i -й интервал, вычисленная из теоретического закона.

При N → ∞ закон распределения независимо от вида закона распределения случайной величины ξ стремится к с k = l − v − 1 степенями свободы (v – число параметров теоретического закона распределения, вычисленных по данной выборке (для нормального закона – это математическое ожидание и дисперсия, т.е. v для нормального закона распределения равно 2)).

Гипотеза о виде закона распределения принимается, если , где – теоретическое (табличное, критическое) значение критерия. Табличное значение критерия определяется по специальной таблице. Оно зависит от принятого значения доверительной вероятности (уровня значимости) и числа степеней свободы. Обычно уровень значимости принимается равным 0,05, что соответствует доверительной вероятности 0,95. Для практического использования критерия Пирсона необходимо выполнение двух условий: Если второе условие не выполняется, то интервалы следует объединить. При достаточно больших значениях k распределение переходит в нормальное.

Для проверки соответствия случайных величин заданным законам распределения широко используются и другие критерии согласия, например, критерий Колмогорова-Смирнова. В этом критерии за меру расхождения (отклонения) эмпирического и теоретического законов распределения принимается величина

а в критерии Мизеса (критерий ω²) – величина

где эмпирическая, а теоретическая функции распределения.

Следует отметить, что при имитационном моделировании наибольшее применение находит критерий , как обеспечивающий наименьшую ошибку в принятии неверной гипотезы.