2015-05-20
790
Ответ: Рассчитать напряжение на конденсаторе и ток в катушке в схеме, приведенной на рис. 21, при закорачивании сопротивления 
, если 
В, 
Ом, 
Ом, 
Ом, 
мГн, 
мкФ.
|
Решение: 1. 
. Анализ цепи до коммутации: 
А, 
В. 2. 
Определение начальных условий.
По законам коммутации: 
А, 
В.
Для послекоммутационной цепи составим уравнения по законам Кирхгофа:
Из уравнения (6), записанного для момента 
, определим напряжение на катушке, а, решая совместно уравнения (5) и (7) для момента коммутации, найдем ток через конденсатор:
В,
А. Используя уравнения связи 
и 
, найдем скорости изменения тока на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе для момента времени 
Это будет являться необходимым условием для нахождения постоянных интегрирования:
А/с, (8) 
В/с. (9) 3. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, составленного для цепи после замыкания ключа, может быть представлено в виде: 
или 
.
4. 
.Определение принужденной составляющей: 
А,
В. 5. 
Определение свободной составляющей. Составим характеристическое уравнение по методу входного сопротивления. Для этого замыкаем накоротко источник эдс и размыкаем ветвь, содержащую конденсатор.
|
Схема для написания характеристического уравнения приведена на рис. 22. Рис. 22. Схема для написания характеристического уравнения в примере 5.1
|
Относительно разомкнутых зажимов определим сопротивление, заменяя элементы L на pL, С на 1/рС. После того как полученное уравнение приведем к общему знаменателю и числитель приравняем к нулю, уравнение примет вид: 
или в приведенном виде: 
(10) Подставим в уравнение (10) численные значения:
Решая квадратное уравнение, найдем его корни:
Процесс носит колебательной характер, затухающий по экспоненциальному закону, а свободные составляющие примут вид:
,
, где 
коэффициент затухания; 
угловая частота собственных колебаний в контуре. 6. Определение постоянных интегрирования. Уравнения для определения свободных составляющих содержат по две постоянных интегрирования: 
– характеризует амплитуду искомой величины, 
– ее начальную фазу. Для нахождения 
необходимо решить систему уравнений:
Запишем эти уравнения для момента времени , учитывая (8), получим:
Из уравнения (12) выразим 
, а затем (11) разделим на (12), получим 
. Подставляя в (11) значение 
, определим
Уравнение для 
, А, имеет вид:
. Аналогично находятся 
– необходимо решить систему уравнений:
Для момента времени , учитывая, что 
В/с, получим: 
Решая последнюю систему уравнений, найдем 
, Аu = –51,49 В.
Уравнение для 
, В, имеет вид: 
.
