Средние величины. Средняя величина – это обобщенная характеристика единиц совокупности по определенному признаку

Средняя величина – это обобщенная характеристика единиц совокупности по определенному признаку. В статистике используются различные виды средних величин: арифметическая, гармоническая, структурные средние: мода и медиана и др.

Все виды средних могут быть рассчитаны как по индивидуальным значениям осредняемого принципа, так и по сгруппированным. В первом случае вычисления средняя будет называться простой средней, а во втором – средней арифметической взвешенной.

Средняя арифметическая простая определяется по формуле ():

где - индивидуальные значения признака (варианты);

- объем совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле:

где - частота повторения признака.

Средняя арифметическая в отличие от других средних обладает рядом математических свойств. Их необходимо изучить, так как на основании этих свойств среднюю арифметическую можно вычислить упрощенным способом (способом условных моментов).

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются показатели особого рода. К ним относят моду и медиану.

Мода (М_о) – это значение варьирующего признака наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Модой в дискретном ряду является варианта, имеющая наибольшую частоту. В интервальном ряду с равными интервалами моду определяют следующим образом:

где - нижняя граница модального интервала;

- частота модального интервала, т.е. интервала, содержащего моду;

- частота интервала, предшествующая модальному;

- частота интервала следующего за модальным.

Медиана (М_е) –это варианта, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда, т.е. она делит ряд на две равные части.

Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине данного ряда. Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медиана будет определяться как средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Если же в дискретном ряду значения признаков повторяются, то для расчета медианы используется сумма накопленных частот. Наращивание частот должно продолжаться до получения суммы частот немногим больше половины. Варианта, соответствующая этой величине, и будет медианой. Если сумма накопленных частот против одной из вариант будет равна точно половине суммы частот, то медиана определяется как средняя арифметическая из этой варианты и последующей.

В интервальном ряду распределения с равными интервалами медиана определяется по формуле: