Вложенные циклы

Если телом цикла является циклическая структура, то такие циклы называют вложенными или сложными. Цикл, содержащий в себе другой цикл, называют внешним. Цикл, содержащийся в теле другого цикла, называют внутренним.

Внутренний и внешний циклы могут быть любыми из трех рассмотренных видов: циклами с параметром, циклами с предусловием, циклами с постусловием. При построении вложенных циклов необходимо соблюдать следующее дополнительное условие: все операторы внутреннего цикла должны полностью лежать в теле внешнего цикла, циклы ни в коем случае не могут пересекаться.

Сложные циклы условно разбивают на уровни вложенности. Ниже представлена структура вложенных циклов с параметром, для которой: внешний цикл 1 имеет уровень 0, внутренний цикл 2 – уровень 1, внутренний цикл 3 – уровень 2.

Возможная глубина вложенности циклов (количество уровней) ограничивается объемом имеющейся памяти ЭВМ. Заметим, что цикл 2 является внешним по отношению к циклу 3 и внутренним по отношению к циклу 1. Параметры циклов разных уровней изменяются не одновременно. Вначале все свои значения изменит параметр самого внутреннего цикла при фиксированных значениях параметров циклов с меньшим уровнем - это цикл 3. Затем меняется на один шаг значение параметра следующего уровня (цикла 2) и снова полностью выполняется внутренний цикл и т. д. до тех пор, пока параметры циклов всех уровней не примут все требуемые значения. При этом, если в сложном цикле с глубиной вложенности k число повторений циклов на каждом уровне равно N₀, N₁, …, N_k соответственно, то общее количество повторений тела самого внутреннего цикла равно:

N= N₀ × N₁ × … × N_k.

Рисунок 3 – Схема алгоритма с вложенными циклами

На рис. 3 изображен цикл с параметром. Но все изложенное относится и к тем случаям, когда для организации циклов используются другие виды циклических структур: цикл с предусловием или цикл с постусловием.

Рассмотрим конкретную задачу, требующую для своего решения организации вложенных циклов. Такой задачей является задача табулирования функции нескольких переменных.

Пример 3. Построить алгоритм и написать программу вычисления значений функции z=cos x + y, где x = x_n (h_x) x_k и y = y_n (h_y) y_k. Аргументы функции x, y – действительные числа.

Для определения значений функции z для всех различных пар (x, y) необходимо процесс вычислений организовать следующим образом. Вначале при фиксированном значении одного из аргументов, например при x=x₀, вычислить значения z для всех заданных y: y_n, y_n + h_y, …, y_n. Затем, изменив значение х на x + h_x, вновь перейти к полному циклу изменения переменной y. Данные действияповторить для всех заданных x: x_n, x_n + h_x, …, x_n. При реализации данного алгоритма требуется структура вложенных циклов: внешнего цикла – для изменения значений переменной х и внутреннего цикла – для изменения значений переменной у. Причем в данной задаче внешний и внутренний циклы можно поменять местами, при этом изменится только очередность изменения аргументов при вычислении функции. В качестве внешнего и внутреннего циклов можно использовать циклы с параметром, циклы с предусловием или с постусловием.

Рисунок 4 – Схема алгоритма к примеру 3

Алгоритм решения поставленной задачи, выполненный с применением цикла с параметром, представлен на рис. 4. Программа, соответствующая этому алгоритму, представлена в листинге 3.

Листинг 3

using System;

namespace ConsoleApplication1

{

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

double xn, xk, hx, yn, yk, hy, z;

Console.Write("Enter xn ");

xn = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.Write("Enter xk ");

xk = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.Write("Enter hx ");

hx = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.Write("Enter yn ");

yn = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.Write("Enter yk ");

yk = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.Write("Enter hy ");

hy = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

for (double x = xn; x <= xk; x += hx) // Внешний цикл

{

for (double y = yn; y <= yk; y += hy) // Внутрений цикл

{

z = Math.Cos(x) + y;

Console.WriteLine("х=" + x + " у=" + y + " z=" + z);

}

Пример 4. Вычислить с погрешностью e значения функции y = cos(x), используя разложение cos x в ряд, для значений x = x_n (h_x) x_k.

Вычислить значение функции cos x можно путем разложения его в следующий ряд:

Cos x = 1 - + - + …+(-1)ⁿ +...

Рисунок 5 – Схема алгоритма к примеру 4

Задача вычисления y = cos x для фиксированного значения х была рассмотрена в примере 1. В данном случае сумму ряда S необходимо вычислять для каждого значения х из диапазона [ x_n, x_k ]. Следовательно, необходимо использовать структуру вложенных циклов. Как показано на схеме алгоритма (рис. 5), внешний цикл – цикл для изменения значений переменной х (цикл с предусловием). Внутренний цикл – цикл для вычисления суммы ряда при фиксированном значении х с погрешностью вычислений e (также цикл с предусловием).

Все вышесказанное реализовано в программе, соответствующей схеме данного алгоритма.

В данном случае сумму ряда S необходимо вычислять для каждого значения х из диапазона [ x_n, x_k ]. Следовательно, необходимо использовать структуру вложенных циклов. Как показано на схеме алгоритма, внешний цикл – цикл для изменения значений переменной х (цикл с предусловием). Внутренний цикл – цикл для вычисления суммы ряда при фиксированном значении х с погрешностью вычислений e (также цикл с предусловием).

Правильность работы программы оценивается путем сравнения значения s с его вычисляемым по формуле y=cos(x) значением.

Соответствующая программа представлена в листинге 4.

Листинг 4

using System;

namespace ConsoleApplication1

{

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

double xn, xk, hx, eps,s,t,y,f;

Console.Write("Enter xn ");

xn = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.Write("Enter xk ");

xk = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.Write("Enter hx ");

hx = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.Write("Enter eps ");

eps = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

double x= xn;

while (x<=xk)

{ //Внешний цикл

s=0;

t=1;

int n=1;

while (Math.Abs(t) > eps)

{ //Внутренний цикл

s= s + t;

f= -x*x / (2*n*(2*n-1));

t= t*f;

n++;

} //Конец внутреннего цикла

y= Math.Cos (x);

Console.WriteLine("х=" + x + " у=" + y+ " s="+s);

x= x + hx;

} //Конец внешнего цикла

}

Выше были рассмотрены основные управляющие конструкции языка Паскаль, позволяющие осуществлять программную реализацию различных ветвлений и циклов. Любой алгоритм (программа) представляет собой некоторую комбинацию рассмотренных стандартных структур: линейной, разветвляющейся, циклической.

Пример 5. Составить программу нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел M и N.