2015-05-10
1096ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-2.
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Вариант №5.
| Выполнил: Студент группы 24275 Кожевников Е.И. | Проверил: Доцент Горбунов Д.В. |
Задание.
Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения 
на отрезке 
.
Решение:
Графический метод.
Из графика функции 
на Рис.1 видно, что функция 
пересекает ось 
в одной точке, являющейся приближенным значением корня нелинейного уравнения. Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение к виду 
и построим два графика 
и 
, имеющих более простой аналитический вид (Рис.2). Абсцисса точки пересечения графиков является приближенным значением корня.
Рис.1 График функции
Рис.2 Графики функций и ,
Функция 
непрерывна на отрезке 
, имеет на концах отрезка разные знаки (
), а производная функции 
не меняет знак на отрезке (
). Следовательно, нелинейное уравнение имеет на указанном отрезке единственный корень.
Метод простых итераций.
Построим функцию 
. Константа 
выбирается из достаточного условия сходимости:
Если производная 
, то значение 
выбирается из интервала 
, если производная 
, то – из интервала 
.
Так как для рассматриваемого примера 
всюду положительна на отрезке 
, то придавая переменной 
различные значения из интервала 
и выбирая наименьший интервал , получим 
.
Выбираем произвольное значение из этого интервала.
Пусть 
. Тогда рабочая формула метода простых итераций будет иметь вид:
Начнем итерационный процесс, задав начальное приближение х0 равное минимальному значению х в заданном интервале , т.е. х0=-1,1. Итерационный процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий:
и 
., где ε=0,001, δ=0,01.
В этом случае значение 
является приближенным значением корня нелинейного уравнения на отрезке 
.
Метод Ньютона.
В качестве начального приближения 
здесь выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида:
Условие выполняется на обоих концах отрезка, следовательно, в качестве начального приближения разрешено выбрать любой из них. Выбираем наименьший: 
. Рабочая формула метода Ньютона 
для данного уравнения запишется так:
Условия выхода итерационного процесса аналогичны условиям метода простых итераций:
и ., где ε=0,001, δ=0,01.
Модифицированный метод Ньютона.
Начальное приближение выбирается аналогично методу Ньютона, т.е. 
. Рабочая формула модифицированного метода Ньютона 
для данного примера запишется так:
Условия выхода итерационного процесса аналогичны условиям метода простых итераций:
и ., где ε=0,001, δ=0,01.
Блок-схема метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона приведена на рисунке 3.
Рис.3 Схема итерационных методов.
Тексты программ:
1) Метод простых итераций:
Program P1_2;
uses Crt;
var n: integer;
x0,x,eps,z,d,y,c:real;
begin
clrscr;
n:=0; x0:=-1.1; c:=-0.1; x:=x0; eps:=0.001; d:=0.01;
writeln (' n xi xi+1 xi+1-xi f(xi+1) ');
repeat
{Метод простых итераций}
y:=x+c*(exp(x)-2*exp(ln(abs(x-1))*2));
writeln (n:3, x:9:5, y:9:5, abs(y-x):9:5, abs(exp(y)-2*(y-1)*(y-1)):9:5);
z:=x;
x:=y;
n:=n+1;
until (abs(x-z)<=eps) and (abs(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))<=d);
readln;
end.
2) Метод Ньютона:
Program P1_2_N;
uses Crt;
var n: integer;
x0,x,eps,z,d,y,c:real;
begin
clrscr;
n:=0; x0:=-1.1; c:=-0.1; x:=x0; eps:=0.001; d:=0.01;
writeln (' n xi xi+1 xi+1-xi f(xi+1) ');
repeat
{Метод Ньютона}
y:=x-(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))/(exp(x)-4*(x-1));
writeln (n:3, x:9:5, y:9:5, abs(y-x):9:5, abs(exp(y)-2*(y-1)*(y-1)):9:5);
z:=x;
x:=y;
n:=n+1;
until (abs(x-z)<=eps) and (abs(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))<=d);
readln;
end.
3) Модифицированный метод Ньютона:
Program P1_2_NM;
uses Crt;
var n: integer;
x0,x,eps,z,d,y,c:real;
begin
clrscr;
n:=0; x0:=-1.1; c:=-0.1; x:=x0; eps:=0.001; d:=0.01;
writeln (' n xi xi+1 xi+1-xi f(xi+1) ');
repeat
{Метод Ньютона Модифицированный}
y:=x-(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))/(exp(x0)-4*(x0-1));
writeln (n:3, x:9:5, y:9:5, abs(y-x):9:5, abs(exp(y)-2*(y-1)*(y-1)):9:5);
z:=x;
x:=y;
n:=n+1;
until (abs(x-z)<=eps) and (abs(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))<=d);
readln;
end.
Результаты отработки программы:
Рис.4 – программы, работающей по методу простых итераций;
Рис.5 – программы, работающей по методу Ньютона;
Рис.6 – программы, работающей по модифицированному методу Ньютона.
Рис.4 Ответ – х(11)≈0,21219
Рис.5 Ответ – х(4)≈0,21331
Рис.6 Ответ – х(10)≈0,21279
