Метод наименьших квадратов. Изучить основные особенности и методы построения линейного приближения экспериментальных данных

Цель работы

Изучить основные особенности и методы построения линейного приближения экспериментальных данных.

Задание

Методом наименьших квадратов построить линейную эмпирическую зависимость по опытным данным. Выполнить проверку адекватности математической модели опытным данным с помощью статистических критериев. Оценить погрешность эмпирической зависимости совместными доверительными F-интервалами.

Краткая теория

Метод наименьших квадратов

Одновременные измерения двух или более разнородных физических величин с целью нахождения зависимости между ними называются совместными измерениями [2]. Обычно выполняется измерений, при которых в заданных или точно измеренных значениях аргумента
определены значения функции . Задача состоит в том, чтобы по парам (, ) построить зависимость (эмпирическую), которая была бы несмещенной и эффективной оценкой истинной зависимости, общий вид которой считают известным. Например, известно, что истинная зависимость есть прямая линия, представленная в виде

. (6.1)

Параметры , неизвестны, их следует оценить по опытным данным. Будем считать ошибки измерений случайными с нулевым математическим ожиданием и дисперсией при любом , а также некоррелированными для разных . При этих условиях найти несмещенные и эффективные оценки , параметров , (а следовательно и зависимости (6.1) в целом) можно с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Будем определять оценку функции в виде

, (6.2)

а оценки , искать таким способом, чтобы сумма квадратов отклонений от по всем узлам была минимальной (этот подход называют также принципом Лежандра):

. (6.3)

Это эквивалентно условию , что приводит к уравнениям вида:

(6.4)

Учитывая, что , – некоторые числа, при этом , получаем

(6.5)

Отметим, что если бы мы записали выражение (6.1) в обычном виде , мы вынуждены были бы решать систему уравнений, выражая параметры один через другой и проводя более сложные вычисления. Использование линейной зависимости в виде (6.1) позволило упростить вычисления (что очень важно для более сложных зависимостей) и получить статистически независимые оценки и .

Учитывая это свойство, можно записать:

Переходя к оценкам, получаем:

(6.6)

При любом законе распределения (если удовлетворяются указанные выше условия) несмещенной оценкой (а при нормальном законе распределения и эффективной) является остаточная дисперсия

, (6.7)