Модель компенсированного бюджета потребителя

Рассмотрим ситуацию, когда в результате неблагоприятного изменения условий рыночной конъюнктуры, повлекших повышение цен на одно или несколько благ, потребителю, с целью сохранения достигнутого за предыдущие интервалы времени уровня потребительской полезности, необходимо определить денежную компенсацию к первоначальному бюджету. Предполагается, что потребитель полностью осведомлен о состоянии своих потребительских предпочтений и выборов, осуществленных на предыдущих временных интервалах.

Как и в модели (2.11), (2.12’), (2.13) допустим, что предпочтения потребителя описываются априорно заданной СФПП , и - вектор рыночных цен на приобретаемые блага и размер бюджета потребителя соответственно. Тогда - новый вектор цен,соответствующий изменившимся рыночным условиям.

Таким образом, необходимо определить минимальный размер дополнительной компенсации , на величину которой требуется увеличить первоначальный бюджет потребителя с целью сохранения его достигнутой ранее потребительской полезности, соответствующей изокванте

Cформулируем математическую постановку задачи определения компенсированного бюджета потребителя:

Модель (2.49)-(2.53) является задачей на условной экстремум с ограничениями в виде неравенств и функционалом на минимум. Для того, чтобы использовать необходимые условия оптимальности теоремы Куна-Таккера, требуется показать, что функционал (2.49) и система ограничений (2.50)-(2.53) являются выпуклыми на Ω функциями.

Функционал задачи (2.49)-(2.53) (выражение (2.49)) является линейной функцией одной переменной, а, следовательно, - выпуклая функция.

Аналогично, также является выпуклой в экономической области потребителя.

Наконец, поскольку, согласно условию (2.5), СФПП на Ω является вогнутой по каждому аргументу, то - выпуклая на Ω функция.

Кроме того, в экономической области потребителя всегда найдется такой набор благ и такое , для которых справедливы следующие условия:

Следовательно, установлено, что экономическая область Ω потребителя удовлетворяет условию Слейтера, что позволяет построить функцию Лагранжа модели (2.49)-(2.53):

Используем условия оптимальности теоремы Куна-Таккера:

где - решение системы уравнений (2.57) - (2.61).

Условия оптимальности (2.57)-(2.61) решения модели компенсированного бюджета потребителя (2.48)-(2.52) позволяют установить экономическое содержание множителей Лагранжа и .

Так, множитель Лагранжа , являющийся двойственной оценкой бюджетного ограничения (2.50), показывает величину, на которую снизится объем компенсации потребителю в случае, если его первоначальный бюджет увеличится на одну денежную ед. Этот результат вполне ожидаем: каждая дополнительная ед. собственных средств потребителя вытесняет некоторый объем дополнительных средств, авансируемых на покупку товара.

Множитель (двойственная оценка ограничения (2.49) в точке ) характеризует рыночную цену набора благ, приходящуюся на ед. его предельной полезности, и, как следует из свойств оптимального решения модели потребительского выбора, является постоянной для всех благ из набора . Более того, увеличение минимальной общей полезности на одну ед. ведет к увеличению объема дополнительно привлекаемых потребителем бюджетных средств на величину двойственной оценки .