2015-05-10
506
Соотношение (2.18) позволяет утверждать, что предельная полезность денежной ед. потребителей с разным уровнем бюджета 
различна. Докажем, что с ростом бюджета предельная полезность денег падает, а при его сокращении – растет.
Приведем доказательство этого факта для случая набора из двух благ.
Для удобства обозначим смешанные производные функции 
в точке 
символом 
Представим систему уравнений (2.30) – (2.32) в матричной форме:
Система (2.33), состоящая из трех уравнений с неизвестными 
, 
, 
по теореме Крамера является определенной и имеет единственное решение в том случае, если определитель матрицы системы (2.33) не равен нулю.
Покажем, что определитель матрицы системы (2.33) отличен от нуля. Вычислим алгебраическую сумму всех правильных произведений матрицы:
В силу соотношения (2.19) и совпадения смешанных частных производных 
и 
функции 
упростим полученное выражение:
Убедимся, что выражение, стоящее в скобках, является вторым дифференциалом функции :
Т. к. точка 
является точкой локального максимума функции , то в силу критерия Сильвестра значение ее второго дифференциала в этой точке меньше нуля: 
. Кроме того, отношение 
в силу предположения о положительности рыночных цен больше нуля.
Таким образом, определитель матрицы системы уравнений (2.33) строго меньше нуля.
Доказанный факт позволяет по формуле Крамера найти значение 
в точке 
Поскольку - точка локального максимума функции 
то, согласно критерию Сильвестра, алгебраическая сумма правильных произведений 
должна быть больше нуля.
Следовательно, значение выражения, стоящего в числителе, будет больше нуля, а выражения, стоящего в знаменателе – меньше нуля.
Таким образом, доказано, что в точке оптимума задачи потребительского выбора предельная полезность денег обратно зависит от величины бюджета 
