Множитель Лагранжа модели потребительского выбора и его экономическое содержание

Соотношение (2.18) позволяет утверждать, что предельная полезность денежной ед. потребителей с разным уровнем бюджета различна. Докажем, что с ростом бюджета предельная полезность денег падает, а при его сокращении – растет.

Приведем доказательство этого факта для случая набора из двух благ.

Для удобства обозначим смешанные производные функции в точке символом

Представим систему уравнений (2.30) – (2.32) в матричной форме:

Система (2.33), состоящая из трех уравнений с неизвестными , , по теореме Крамера является определенной и имеет единственное решение в том случае, если определитель матрицы системы (2.33) не равен нулю.

Покажем, что определитель матрицы системы (2.33) отличен от нуля. Вычислим алгебраическую сумму всех правильных произведений матрицы:

В силу соотношения (2.19) и совпадения смешанных частных производных и функции упростим полученное выражение:

Убедимся, что выражение, стоящее в скобках, является вторым дифференциалом функции :

Т. к. точка является точкой локального максимума функции , то в силу критерия Сильвестра значение ее второго дифференциала в этой точке меньше нуля: . Кроме того, отношение в силу предположения о положительности рыночных цен больше нуля.

Таким образом, определитель матрицы системы уравнений (2.33) строго меньше нуля.

Доказанный факт позволяет по формуле Крамера найти значение в точке

Поскольку - точка локального максимума функции то, согласно критерию Сильвестра, алгебраическая сумма правильных произведений должна быть больше нуля.

Следовательно, значение выражения, стоящего в числителе, будет больше нуля, а выражения, стоящего в знаменателе – меньше нуля.

Таким образом, доказано, что в точке оптимума задачи потребительского выбора предельная полезность денег обратно зависит от величины бюджета