Частотные критерии устойчивости САУ

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду час­тотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядно­сти и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения. Запишем характеристическое уравнение САУ в виде

Его корни

где

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.6.13а), тогда разность р - р_i изобразится разно­стью векторов (рис.6.13б), где р - любое число.

Если менять значение р произвольным образом, то конец век­тора р - p_i будет перемещаться по комплексной плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как р _i - это конкрет­ное неизменное значение.

В частном случае, если на вход системы подавать гармониче­ские колебания с различной частотой ω, то р = jω, а характери­стическое уравнение принимает вид:

Рисунок 6.13 - К определению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

При этом концы векторов jω- p_i будут находиться на мнимой оси (рис.6.13в). Если менять ωот -∞ до +∞, то каждый вектор jω -p_i будет поворачиваться относительно своего начала р_i на угол +р для левых и - р для правых корней (рис.6.13г).

Характеристическое уравнение можно представить в виде

Пусть из n корней m - правые, а (n - m) - левые, тогда угол поворота вектора D(jω) при изменении ω от -∞ до +∞ равен

или при изменении со от О _д0 +_ет получаем

изменение аргумента вектора D(jω) при изменении часто­ты ω от -∞ до +∞ равно разности между числом левых и пра­вых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на π, а при измене­нии частоты ω от 0 до +∞ эта разность умножается на π/2.

Это правило называется принцип аргумента Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости.

Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

Критерий устойчивости Михайлова. Так как для устойчивой САУ число правых корней m=0, то угол поворота вектора D(jω) составит

САУ будет устойчива, если вектор D(j ω) при изменении частоты ω от 0 до +∞ повернется на угол п π/2.

При этом конец вектора опишет кривую, называемую годо­графом Михайлова. Она начинается на положительной полуоси, так как D(0) =а_n и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уходит в бесконеч­ность в n-ом квадранте (рис.6.14а).

Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последователь­ность прохождения квадрантов (рис.6.14б), то такая САУ неус­тойчива - это и есть необходимое и достаточное условие крите­рия Михайлова. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находит­ся вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.

Для облегчения построения годографа Михайлова выражение для D(jg>) представляют суммой вещественной и мнимой состав­ляющих:

Меняя ω от 0 до ∞, по этим формулам находят координаты точек годографа, которые соединяют плавной линией.

Рисунок 6.14 - Годограф Михайлова.

Критерий устойчивости Найквиста. Этот критерий позволя­ет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду АФЧХ ра­зомкнутой САУ (рис.6.15). Исследование разомкнутой САУ проще, чем замкнутой. Его можно производить эксперименталь­но, поэтому часто оказывается, что АФЧХ разомкнутой САУ мы имеем или можем получить.

Передаточная функция разомкнутой САУ:

и ее уравнение динамики:

или

где D_p(p) - характеристическое уравнение разомкнутой САУ;

К_р(р)- операторный коэффициент передачи разомкнутой САУ;

ε(t)- рассогласование на входе разомкнутой САУ.

По виду корней уравнения D_p(p) = 0 можно судить об устой­чивости разомкнутой САУ. Но это пока ничего не говорит об ус­тойчивости замкнутой САУ.

Для того, чтобы получить уравнение динамики замкнутой САУ при свободном движении, считаем, что внешнее воздейст­вие u = 0, тогда на вход первого звена САУ подается сигнал рас­согласования

Рисунок 6.15 - К использованию критерия устойчивости Найквиста.

Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой САУ:

По виду его корней уже можно судить об устойчивости замк­нутой САУ.

Воспользуемся вспомогательной функцией:

По сути дела она представляет собой АФЧХ разомкнутой САУ, сдвинутую на единицу вправо. Степени полиномов D₃(ω) и D_p(jω) равны n. Эти полиномы имеют свои корни р_зi и p_pi, то есть можно записать

Каждую разность в скобках можно представить вектором на комплексной плоскости, конец которого скользит по мнимой оси ω. При изменении ω от -∞ до +∞ каждый из векторов j ω - p_i бу­дет поворачиваться на угол +р, если корень левый и -р, если ко­рень правый.

Пусть полином D₃(jω) имеет т правых корней и п - т левых, а полином D_p(jω) имеет g правых корней и n-g левых. Тогда сум­марный угол поворота вектора функции F(jω) при изменении частоты ω от -∞ до +∞:

Если замкнутая САУ устойчива, то т = 0, тогда суммарный поворот вектора F(jω) при изменении ω от -∞ до +∞ должен быть равен 2π g, а при изменении ω от 0 до +∞ он составит

2π g/2.

Отсюда можно сформулировать критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая САУ неустойчива и имеет g пра­вых корней, то для того чтобы замкнутая САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор F(fω) при изменении ω от 0 до +∞ охватывал начало координат в положительном направ­лении g/2 раз, то есть АФЧХ разомкнутой САУ должна охваты­вать g/2 раз точку (-1, j0).

На рис.6.16а приведены АФЧХ разомкнутых САУ, устойчи­вых в замкнутом состоянии, на рис. 6.16б - замкнутая САУ неус­тойчива.

На рис. 6.16в и 6.16г показаны АФЧХ разомкнутых астати­ческих САУ, соответственно устойчивых и неустойчивых в замк­нутом состоянии. Их особенность в том, что АФЧХ при ω→0 уходит в бесконечность

Рисунок 6.16- Применение критерия Найквиста для анализа устойчивости разомкнутых и замкнутых САУ.

В этом случае при использовании критерия Найквиста ее мысленно замыкают на вещественную ось по дуге окружности бесконечно большого радиуса. Критерий Найквиста очень нагля­ден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли САУ, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению ус­тойчивости.