Свойства математического ожидания. Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М (С) = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (СХ) = СМ (X).

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X)M(Y).

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем:

М (XYZ) = М (XY-Z) = М (XY) M(Z) = M (X) М (Y) M (Z).

Пример 1. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М (X + У) = М (X) + М (У).

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример 2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными P1 = 0,4; p2 = 0,3 и р3=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение. Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина Х1, которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью р1 = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью q=1–0,4 = 0,6.

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания, т. е. M(X1) = 0,4. Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: М(Х2) = 0,3, М(Х3)=0,6.

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом, ожидании суммы: