Задача Д4

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃=0,3 м, r₃=0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ₃ = 0,2 м, блока 4 радиуса R₄=0,2 м икатка (или подвижного блока) 5 (рис. Д4.0—Д4.9, табл. Д4); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 —равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f =0,1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина скоэффициентом жесткости с. Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным S₁=0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы, где обозначено: V₁, V ₂, V₃, V_c₅ — скорости грузов 1, 2 и центра масс тела 5 соответственно, ω₃ и ω₄ - угловые скорости тел 3 и 4. Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5 на рис. 1), катятся по плоскостям без скольжения.На всех рисунках не изображать груз 2, если m₂=0; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.

Таблица Д4

Указания. Задача Д4—на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что ки-нетическая энергия Т системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении Т для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей (кинематика). При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное перемещение s учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями_.

Рис.Д4.4 Рис.Д4.5

Рис.Д4.2 Рис.Д4.3

Рис.Д4.0 Рис.Д4.1

Рис.Д4.6 Рис.Д4.7

Рис.Д4.8 Рис.Д4.9

Задача Д6

Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,2 м) массой m₁ = =24 кг вращается с угловой скоростью ω₀=10 c^-1 вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс С платформы на расстоянии ОС = b (рис. Д6.0—Д6.9, табл. Д6); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д6.0, а (вид сверху).

В момент времени t₀ = 0 по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой m₂ = 8 кг по закону s = AD = F(t), где s выражено в метрах, t — в секундах. Одновременно на платформы, изображенные на рис. О—4, начинает действовать пара сил с моментом М (задан в ньютон-метрах; при М<0 его направление противоположно показанному на рисунках); для платформ, изображенных на рис. 5—9, М = 0.

Определить: для платформ, изображенных на рис. 0—4, зависимость ω = f(t), т. е. угловую скорость платформы, как функцию времени; для платформ, изображенных на рис. 5—9, — угловую скорость ω₁ платформы в момент времени t₁ = 1 с.

Форма желоба на рис. 0—4 прямолинейная (желоб КЕ), на рис. 5, 6, 7 — окружность радиуса R (обод платформы), на рис. 8, 9 — окружность радиуса r = 0,5 R. На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s>0 (когда s<0, груз находитсяпо другую сторону от точки А); на рис. 5—9 расстояние s = AD отсчитывается по дуге окружности. Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии ОС = b от центра С.

Указания. Задача Д6 — на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент K_z системы относительно оси z определяется как сумма моментов платформы и груза. При этом следует учесть, что абсолютная скорость v груза складывается геометрически из относительной v₀_T и переносной v_пер скоростей, т.е. v = v₀_T + v_пер. Поэтому и количество движения этого груза mv = mv_от+ mv_пер. Тогда можно воспользоваться теоремой Вариньона (статика),согласно которой m_z(mv) = m_z(mv₀_T) +m_z(mv_nep); эти моменты вычисляются так же, как моменты сил

.В случае, когда М =0 и надо определить ω_о,необходимо воспользоваться законом сохранения кинетического момента (показав, что он здесь имеет место). При этом следует сначала найти и показать на чертеже положения D_o и D₁ груза в моменты времени (t₀ = 0 и t₁ = 1 с (найти, ему равен угол ACD при t₀ = 0 и t₁ = 1 с), а также определить, чему равна и как направлена скорость v₀_T в эти моменты времени. После этого, так же как в Д6, надо вычислить K_z, но не для произвольного момента времени, а сначала для момента t₀ = 0 (когда груз в положении D_o и ω = ω₀), а затем для момента t₁ = 1 с (когда груз в положении D₁ и ω = ω₁) и использовать закон сохранения K_z.

Момент инерции прямоугольной пластины с массой т и сторонами a₁и a₂ относительно оси Оz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс С, равен - .При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца оси z). В качестве примеров это сделано для рис.Д6.0 и Д6.1 (рис.Д6.0а,рис.Д6.1а).

Таблица Д6

Рис.Д6.0 Рис.Д6.0а

Рис.Д6.1 Рис.Д6.1а

Рис.Д6.2 Рис.Д6.3

1 2 3 4 5 6

Рис.Д6.4 Рис.Д6.5

Рис.Д6.8 Рис.Д6.9

Рис.Д6.6 Рис.Д6.7

Задача Д7

Барабан радиуса R весом Р имеет выточку (как у катушки) радиуса г = 0,6 R (рис. Д7.0—Д7.9, табл. Д7). К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы F₁ и F₂, направления которых определяются углом f; кроме сил на барабан действует пара с моментом М. При движении, начинающемся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона а так, как показано на рисунках.

Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс С барабана, т. е. X_С = f(t), и наименьшее значение коэффициента трения f о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.

Указания. Задача Д7 — на применение дифференциальных уравнений плоскопараллельного движения твердого тела. При составлении уравнений следует во избежание ошибок в знаках направить координатную ось х в ту сторону, куда предполагается направленным движение центра С барабана, и считать тогда все моменты положительными, когда они направлены в сторону вращения барабана. Если фактически направление движения центра С другое, то в ответе получится a _с<0, но найденная величина а _с будет верной. Силу трения, когда неясно, куда она направлена, можно направлять в любую сторону (результат от этого не зависит).

Таблица Д7

Определяя наименьшее значение коэффициента трения, при котором возможно качение без скольжения, учесть, что сила трения не может быть больше предельной, т.е. что IF_ТРI<fN, откуда f>IF _Tp I/N. Следовательно, f_min = IF _Тр I/N. Очень существенно, что во все эти выражения входят модули сил (мы не пишем INI, так как в данной задаче не может быть N<0). Если при расчетах получится F_тр<0, то это означает лишь, что фактически сила F _ТРнаправлена в другую сторону; в остальном весь расчет будет верным.

Рис.Д7.0 Рис.Д7.1 Рис.Д7.2

Рис.Д7.6 Рис.Д7.7

Рис.Д7.8 Рис.Д7.9

Рис.Д7.3 Рис.Д7.4 Рис.Д7.5