Задача Д9

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 весом P₁ и P₂с радиусами ступеней R₁ = R, r₁ = 0,4R, R₂ = R, r₂ = O,8R (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) и грузов или сплошных однородных цилиндрических катков 3, 4, 5 весом Р₃, Р₄, Р₅соответственно (рис. Д9.0 — Д9.9, табл. Д9). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Грузы скользят по плоскос- тям без трения, а катки катятся без скольжения.

Кроме сил тяжести на одно из тел системы действует постоянная сила F, а на шкивы 1 и 2 при их вращении действуют постоянные мо- менты сил сопротивления, равные соответственно M₁ и M₂.

Составить для данной системы уравнение Лагранжа и определить из него величину, указанную в таблице в столбце „Найти", где обозначе- но: ε₁, ε₂— угловые ускорения шкивов 1 и 2, ω_c1, ω_c2, ω_c3- ускоре - ния центров масс тел 3, 4, 5 (если тело 3 или 4 — груз, то ω_c3 = ω₃, ω_c4= ω₄, где ω₃и ω₄ — ускорения соответствующих грузов). Когда в задаче надо определить ε₁ или ε₂, считать R = 0,25 м.

Тела 3, 4, вес которых равен нулю, на чертеже не изображать. Шкивы 1 и 2 всегда входят в систему, их всегда изображать.

Указания. Задача Д9 — на применение к изучению движения системы уравнений Лагранжа. В задаче система имеет одну степень свободы, следова­тельно, ее положение определяется одной обобщенной координатой и для нее должно быть составлено одно уравнение.

За обобщенную координату q принять: в задачах, где требуется опреде­лить V_c1, V_c2, или V_c3— перемещение х центра масс С соответствующего катка или перемещение груза; в задачах, где требуется определить ε₁или ε₂, — угол поворота φ соответствующего шкива.

Для составления уравнения вычислить сначала кинетическую энергию Т системы (как в задаче Д4) и выразить все вошедшие в Т скорости через обобщенную скорость, т. е. через х, если обобщенная координата х, или че­рез φ, если обобщенная координата φ. Затем вычислить обобщенную силу Q. Для этого сообщить системе возможное (малое) перемещение, при котором выбранная координата, т. е. х (или φ), получает положительное приращение δх(или δφ), и вычислить сумму элементарных работ всех сил на этом перемещении; в полученном равенстве надо все другие элементарные перемещения выразить через δх (или через δφ, если обобщенная координата φ) и вынести δх (или δφ) за скобки. Коэффициент при δх: (или δφ) и будет обобщенной силой Q.

Таблица Д10

Номер условия	P1, Кн	P2, Кн	P3, Кн	P4, Кн	P5, Кн	M1, Кн м	M2, Кн м	F, Кн	Най-ти
	10P		4Р		ЗР	0,2PR		10Р	ωc3
		8Р		4Р	2Р		0,3PR	8P	ωc5
	8P			2P	Р	0,3PR		6Р	ε2
		10Р	ЗР		2Р		0,2PR	10P	ωc3
	8P	6P		ЗР		0,4PR	0,3PR	8Р	ωc4
	10P		2P		4Р		0,4PRR	8Р	ε1
		8Р		ЗР	5Р	0,2PR		6Р	ωc6
	6Р	4Р			ЗР	0,ЗРR		4Р	ε2
	6Р			5Р	4Р		0,2РR	6Р	ε1
		6Р	5Р		6Р	0,2PR		10Р	ωc5

Рис.Д9.0 Рис.Д9.1

Рис.Д9.4 Рис.Д9.5

Рис.Д9.8 Рис.Д9.9

Рис.Д9.6 Рис.Д9.7

Рис.Д9.2 Рис.Д9.3