Тезис № 5. Конструктивизм

Представления интуиционизма были развиты направлением конструктивизма, выдающимися представителями которого являются А.А. Марков, Н.А. Шанин, А.Н. Колмогоров и его школы.

В частности, Шанин полагает, что в конструктивизме важным является не предмет математического исследования как таковой, а средства, алгоритмы, конструкты для решения тех или иных математических задач. В этом аспекте в противовес логицистам, стоящим на позициях актуальной бесконечности, конструктивисты обосновывают идею потенциальной бесконечности или потенциальной осуществимости бесконечности. Для этого нужно проделать 4 шага:

1. Вводим в наряду с реальной бесконечностью математическую бесконечность как возможность.

2. Мысленно приравниваем воображаемую ситуацию к реальной. При этом рассуждаем об этом воображаемом представлении, применяя методы классической логики.

3. Полагаем сконструированную нами бесконечность независимой от набора конструктивных операций.

4. Принимаем бесконечную совокупность одновременно существующих объектов в качестве не связанных вообще с какими-либо конструктивными операциями, даже и своим происхождением.

Вейн, разъясняя смысл интуиционизма, писал, что «для математика совершенно безразлично, что такое окружность, для него принципиально знать, каким образом задана окружность». Согласно Вейну, логицисты требуют дедуцировать все производные понятия из исходных, а мы, интуиционисты, полагаем, что понятия должны не выводиться, а порождаться, поэтому не аксиоматический метод построения теории, не дедукция, а конструкция, генетический метод.

Конструктивизм разрабатывает понятие алгоритма как разрешающей процедуры, распадающейся на ряд строго задаваемых действий или предписаний. Алгоритм есть последовательность операций, шагов, где каждый данный шаг однозначно детерминирован предыдущим и в свою очередь столь же однозначно детерминирует следующий шаг, т.е. мы знаем, что и в какой последовательности надо делать: умножение, извлечение корня и т.д.

Таким образом, конструктивизм несколько смягчил позицию интуиционизма, однако в целом предстаёт как направление математики, которое можно поименовать как антилогицизм.