Тезис № 1. Предмет математики, её философские и теоретические обоснования

Вопрос о предмете математики, её теоретических и философских обоснованиях является чрезвычайно сложным и неоднозначным, а потому устойчивые сложившиеся направления в математике по-разному отвечают на эти вопросы.

Тезис № 2. Направления.

В математике сложились следующие направления в понимании её предмета и проблем, а именно

1) первое направление получило название логицизм;

2) интуиционизм;

3) развитая форма интуиционизма (некоторые полагают, что это отдельное направление) – конструктивизм;

4) формализм.

Тезис № 3. Логицизм.

Основателями этого направления являются Бертран Рассел, Карл Гемпель, Рудольф Карнап и другие математики.

Согласно логицизму в лице Рассела, логика – это юность математики, а современная математика – это зрелость логики!

Гемпель и Карнап полагают, что программа логицизма включает в себя три положения:

1) все понятия математики определяются в терминах понятий логики;

2) все теоремы математики выводятся из логических аксиом;

3) по существу критерием объективности и истинности математики с позиций логицизма является логическая выводимость и его непротиворечивость.

Таким образом, логицизм редуцирует математику к логике, а поскольку математика состоит из неоднородных элементов, то логицисты поставили перед собой задачу свести математику к единому началу – арифметике, в этом аспекте свести всю математику к натуральному числу.

В этом смысле немецкие математики Грассман и Вейерштрасс свели рациональные (?) числа к натуральным, а затем и иррациональные числа были интерпретированы как множество упорядоченных пар рациональных чисел.

Наконец, большую роль в обосновании логицизма сыграла теория множеств, математик Кантор и др., в этом смысле Пуанкаре в своё время заявил «теперь в анализе остались только целые числа и конечные или бесконечные системы целых чисел, связанных сетью равенств и неравенств. Математика, как говорят, арифметизировалась».

По мнению выдающегося логициста Фрега, сама логика не говорит ничего о мире и представляет собой аналитические высказывания и тавтологии, их истинность зависит не от содержания, но лишь от формы, от того они истинны во всех возможных мирах.