Тезис № 6. Формализм как направление в математике

Формализм как направление математики был основан выдающимися математиками в начале прошлого века Гильбертом, Аккерманом, Бернайсом и фон Нейманом.

Основные идеи формализма сложились у Гильберта в 1902–1904 гг., а более строгое изложение доктрины формализма обнаруживается в 1904 г., когда вышел первый том «Основания математики». Гильберт и его сторонники подвергают жесточайшей критике интуиционизм и полагают, что сводить предмет математики к вещам реального мира, а гносеологически видеть источник математического знания в интеллектуальной интуиции неверно. Математика оперирует отнюдь не реальными вещами, а знаками, и потому доказательство непротиворечивости математики, её формального исчисления и является решающим ключом к обоснованию математики.

Согласно Гильберту, в качестве исходных образований в математике фигурируют абстрактные математические символы и сочетания этих символов, поэтому основная мысль моей теории доказательства такова, все высказывания, которые составляют вместе математику, превращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул. В этом аспекте, по Гильберту, формализованная или формализуемая аксиоматика позволяет провести прямое доказательство её непротиворечивости – это есть абсолютное доказательство математики или абсолютное доказательство непротиворечивости формальных систем. Это доказательство имеет свой алгоритм, состоящий из трёх шагов:

1) предъявляется формула;

2) доказывается, что из предъявленной формулы следует другая (по заданным правилам);

3) предъявляется новая формула.

Вывод: манипуляция символами по правилам формализованной системы никогда не приведёт к противоречию. Таким образом, в формализме обоснование математики по существу сводится 1) к формализованному доказательству и 2) к критерию абсолютной непротиворечивости формализованной системы.