Примеры решения типовых задач. Пример 1.Для матрицы найдите

Пример 1. Для матрицы найдите:

а) миноры всех её элементов; б) алгебраические дополнения всех её элементов.

Решение. А) Найдем минор . Вычеркнем в матрице А первую строку и первый столбец, получим . Рассуждая аналогично, получим , , .

Б) Найдем алгебраическое дополнение . Аналогично, , , .

Ответ: А) , , , . Б) , , , .

Пример 2. Найти матрицу, обратную матрице . Сделать проверку. Записать алгоритм решения.

Решение.

Шаг 1. Вычислим определитель матрицы А. Следовательно, обратная матрица существует.

Шаг 2. Найдем миноры всех элементов матрицы А. Получим матрицу миноров

Шаг 3. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А. Получим матрицу алгебраических дополнений: .

Шаг 4. Составим обратную матрицу .

Шаг 5. Выполним проверку. Умножим полученную обратную матрицу на исходную матрицу А.

Исходя из определения обратной матрицы, матрица найдена правильно.

Ответ: .

Пример 3. Найдите матрицу, обратную матрице .

Решение.

Шаг 1. Вычислим определитель матрицы А. Следовательно, обратная матрица существует.

Шаг 2. Найдем миноры всех элементов матрицы А. Для вычисления вычеркнем в матрице А первую строку и первый столбец, получим . Аналогично находим миноры остальных элементов матрицы А. Получим матрицу миноров .

Шаг 3. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А. Получим матрицу алгебраических дополнений: .

Шаг 4. составим обратную матрицу .

Ответ: