Решение типовых заданий. Краткие теоретические сведения

Прямая на плоскости.

Краткие теоретические сведения.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

, где . (1)

Если k = 0, то прямая y = b параллельно оси О х.

Если , то не существует и прямая х = а параллельна оси О у.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

. (2)

Общее уравнение прямой на плоскости

, (3)

где А, В, С – числовые коэффициенты, причем .

Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть заданы две прямые

. (4)

. (5)

Решение типовых заданий.

Задание 1: составить уравнение прямой, проходящей через точку А (3;-2):

а) под углом 135° к оси О х; б) параллельно оси О у; в) параллельно оси О х.

Решение:

Шаг 1: найти угловой коэффициент прямой:

.

Шаг 2: подставить значение углового коэффициента в уравнение прямой (1):

(*)

Шаг 3: подставить в уравнение прямой (*) точку, через которую проходит прямая и выразить значение b

b =1

Шаг 4: подставить значение b в уравнение прямой (*):

.

б) Уравнение прямой, проходящей через т. А (3;-2) параллельно оси О у, имеет вид х =3.

в) Уравнение прямой, проходящей через т. А (3;-2) параллельно оси О х, имеет вид у =-2.

а) б) в)

Ответ: а) у=-х+ 1; б) х =3. в) у =-2.

Задание 2: Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (-5; 4) и B (3;-2):

Решение:

Шаг 1: Подставим точки А и В в уравнение прямой (2):

Шаг 2: Выразить у через х:

Ответ: .

Задание 3: Составить уравнение прямых, проходящих через точку пересечения прямых и параллельно и перпендикулярно прямой .

Решение:

Шаг 1: Найти точку пересечения двух прямых, решив систему уравнений:

.

Шаг 2: Определить угловой коэффициент прямой .

Шаг 3: найти угловые коэффициенты прямых параллельных и перпендикулярных прямой по формулам (4), (5):

Шаг 4: подставить т. А в уравнения прямых параллельных и перпендикулярных прямой и найти значения b:

.

Шаг 5: по формуле (1) написать уравнения искомых прямых

- прямая l параллельна прямой :

- прямая m параллельна прямой :

.