Функции нескольких переменных

Пусть задано множество упорядоченных пар чисел . Соответствие , которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно число , называется функцией двух переменных, определенной на множестве со значениями в , и записывается в виде .

Частной производной функции нескольких переменных называется производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных переменных. Обозначения частных производных: .

Частные производные называют частными производными первого прядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции также могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.

Теорема. Если частные производные непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для имеем: .

Пример 1. Найти производные первого порядка и смешанную производную второго порядка функции .

Решение. При нахождении частной производной по полагаем постоянной: . При нахождении частной производной по полагаем постоянной: . .