Энергетические зоны в модели Кронига-Пенни

Найдем в явном виде дисперсионное соотношение для электрона в периодическом кристаллическом поле. Исследуя выражение (8) находим, что волновое число k может быть вещественным только при условии, что значения левой части этого равенства находятся в интервале от -1 до +1. Зависимость левой части уравнения (8) от a для параметра p = 2 приведен на рис. 2. Заштрихованные участки соответствуют запрещенным значениям параметра a и, следовательно, энергии электрона в кристалле. Этот результат получен только на основании теоремы Блоха, условием применимости которой является единственное требование периодичности потенциала в стационарном уравнении Шредингера для электрона в кристалле. Таким образом, наличие периодического потенциала приводит к появлению для энергии электрона таких интервалов, для которых нет волнового решения, соответствующего вещественным значениям волнового числа электрона. Результатом этого является чередование разрешенных и запрещенных зон энергии для электрона в кристалле.

Рис. 2. Зависимость от параметра a левой части уравнения (8).

Рис. 3. Зависимость энергии электрона от волнового числа для p = 2 и p = 0 (штриховая линия)

На рис. 3 приведено дисперсионное соотношение для энергии электрона в кристалле. Видно, что зависимость E(k) претерпевает разрывы в точках, где и т. д.

Если параметр p = 0, согласно равенству (8) и

.

Последнее равенство соответствует дисперсионному соотношению для свободного электрона. На рис. 3 это дисперсионное соотношение изображено штриховой линией.

Поскольку, как подчеркивалось выше, все физически различимые значения волнового числа лежат в пределах первой зоны Бриллюэна, которая в одномерном случае ограничена интервалом значений волнового числа от до , целесообразно перейти от представления расширенных зон Бриллюэна (рис. 3) к представлению приведенных зон Бриллюэна (рис. 4). Волновые функции, соответствующие вещественным k, могут быть построены только для заштрихованных областей энергии электрона. Эти области представляют собой разрешенные энергетические зоны, которые отделены друг от друга зонами (щелями) запрещенных энергий.

Рис.4. Энергия электрона как функция волнового числа в схеме приведенных зон Бриллюэна

Предел P ® ¥ дает дискретный ряд уровней

которые совпадают с результатами для частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме.

Энергия электронов в периодическом поле кристалла претерпевает разрыв на границах зон Бриллюэна, для которых . Физическая природа разрывов связана с отражением электронных волн от атомных плоскостей кристаллической решетки. Действительно, с учетом того, что , условие, при котором происходит нарушение непрерывности функции E(k), может быть записано в виде , что совпадает с условием Вульфа-Брэгга при угле падения волн 90⁰.

Именно успех модели энергетических зон Кронига – Пенни, объяснившей объемные свойства бесконечного кристалла, и вдохновил И.Е. Тамма на исследование поведения электрона в кристалле конечной толщины, то есть ограниченного поверхностью. Оказалось, что возникновение поверхностных состояний в кристаллах – довольно тонкое квантовомеханическое явление, связанное с волновым характером движения электронов. Поэтому его имеет смысл объяснить с точки зрения распространения волн, а не пользуясь аналогией с привычными для нас свойствами классических частиц. Обычная рябь на поверхности воды – хорошо известный пример волны, которая распространяется только вдоль поверхности раздела двух сред и не уходит в глубь ни в одной из них. Кроме такой поверхностной волны, могут существовать и независимые от нее волновые движения в объеме – как в воде, так и в атмосфере. Другой пример разделения волн на поверхностные и объемные предоставляют землетрясения: при них наблюдаются два типа сейсмических волн – одни идут напрямик, сквозь землю, а другие распространяются по ее поверхности. Одновременное существование нескольких типов волн означает, что все они служат допустимыми решениями некоторой математической задачи, основанной на волновом уравнении. В квантовой теории такие решения как раз и называются состояниями. Блоховские электронные состояния в кристаллах аналогичны объемным волнам, таммовские состояния – поверхностным.

Чтобы понять происхождение таммовских состояний, полезно задуматься над тем, почему вообще в кристаллических твердых телах возникает зонная структура. На первый взгляд «полосатый» спектр электронных энергий кажется странным. Действительно, электронные волны, которым отвечают уровни в пределах каждой разрешенной зоны, отличаются друг от друга энергией или попросту скоростью, с которой электрон движется через кристалл. Казалось бы, из-за столкновений с атомами в плотно упакованной кристаллической решетке электрон должен быстро «затормозиться», или по крайней мере его скорость будет часто и хаотично изменяться при многократном рассеянии на атомах кристалла. Однако этого не происходит. Дело в том, что благодаря строгой периодичности в расположении решеточных центров электронные волны, рассеянные различными атомами, складываются с начальной волной в упорядоченную результирующую волну, которая и представляет собой блоховское состояние. В рассеянии электрона кристалл участвует как целое, и блоховская волна распространяется через решетку, уже больше не рассеиваясь, несмотря на весьма сильное взаимодействие между отдельно взятыми электродном и атомом. Такие процессы, в которых физическая система выступает всем коллективом, а не на уровне отдельных частиц, по аналогии с оптикой иногда называют когерентными.

С точки зрения когерентности нетрудно понять, почему в энергетическом спектре электрона в кристалле возникают запрещенные зоны или «щели». Если энергия электрона попадает в какую-либо из запрещенных зон, то фазы волн, рассеянных разными атомами решетки, таковы, что, складываясь, эти вторичные волны полностью гасят начальную. Пусть, например, волна-электрон с такой «запрещенной» энергией падает на кристалл извне. Тогда она отражается от кристалла, поскольку внутри него не может быть электронов с энергией из запрещенной зоны. По существу, это явление полностью аналогично хорошо известному для рентгеновских лучей брэгговскому отражению.

Однако из этого же рассуждения видно, что волны с запрещенными энергиями могут существовать у поверхности кристалла. Действительно, падающая извне волна-электрон должна проникнуть хотя бы на глубину в несколько атомных слоев, чтобы успеть столкнуться с атомами и породить те самые рассеянные волны, которые ее же и погасят. Поэтому частица отражается постепенно, хотя амплитуда описывающей ее волновой функции убывает очень быстро – экспоненциально при удалении от поверхности в глубь кристалла.

Такое постепенное отражение электронной волны происходит при падении ее на кристалл извне. А что будет, если она падает изнутри? Электроны внутри кристалла имеют более низкую потенциальную энергию, чем в вакууме. Поэтому, чтобы вырвать электрон из кристалла, ему нужно сообщить дополнительную энергию, называемую работой выхода. Другими словами, на поверхности твердого тела имеется потенциальный барьер для тех электронов, которые намереваются покинуть кристалл. Падая на поверхность изнутри и натыкаясь на барьер, электроны вынуждены отражаться обратно в твердое тело. Однако, хотя электронная волна и не может выйти в вакуум, ее отражение происходит не так резко, как, например, у классического шарика, отскакивающего от стенки. Благодаря квантовомеханическому туннелированию электрон проникает в глубь вакуумного барьера, так что существует отличная от нуля вероятность обнаружить электрон, «принадлежащий» твердому телу, даже в вакууме вблизи поверхности кристалла. Правда, эта вероятность быстро – тоже экспоненциально – уменьшается при удалении электрона от поверхности кристалла. На расстояниях порядка нескольких ангстрем (1 ангстрем – 10^–8 см) электронная волна, проникшая в вакуум через границу кристалла, почти полностью исчезает.

Таким образом, если энергия электрона в кристалле попадает в одну из запрещенных зон, то может возникнуть волна, запертая вблизи поверхности. Из-за потенциального барьера на границе она неспособна уйти в вакуум, а из-за брэгговской дифракции – проникнуть в глубь вещества. Единственное, что остается электронной волне, – бежать вдоль поверхности. При этом она как бы отражается от двух непроницаемых, зеркальных стенок. Такая локализованная в приповерхностном слое волна и называется таммовским состоянием.