Кrоnig R. de L., Penney W. G., Quantum mechanics of electrons in crystal lattices

"Proc. Roy. Soc. London", 1931, v. 130A, p. 499

Рис.1. Изменение потенциальной энергии электрона: а - в реальном кристалле; б - в модели Кронига-Пенни

Теорема Блоха позволяет аналитически решить задачу об электроне в периодическом поле кристаллической решетки в приближении слабой связи при некоторых упрощающих предположениях. Основная трудность в решении уравнения Шредингера связана с невозможностью точно записать вид функции U (r). Поэтому часто периодическую зависимость функции U (r) заменяют более простой функцией с точно таким же периодом. В модели Кронига-Пенни ограничиваются рассмотрением одномерной задачи, в которой периодический потенциал заменяется цепочкой прямоугольных потенциальных ям (рис.1). Ширина каждой ямы а, они отделены друг от друга прямоугольными потенциальными барьерами высотой U ₀ и шириной b. Период повторения ям с = а + b.

Стационарное уравнение Шредингера будет иметь в этом случае вид:

. (1)

Начало системы координат (точку х = 0) выберем так, чтобы она совпадала с левым краем потенциальной ямы, как это показано на рис.1, б. Tогда потенциальная функция

. (2)

В соответствии с теоремой Блоха волновая функция электрона y (x) может быть представлена в виде

. (3)

Индексы n и k упущены для простоты записи. Функция u (x) (блоховский множитель) имеет период c

Подставляя (3) в уравнение (1), получим дифференциальное уравнение для блоховского множителя

(4 a)

для электронов, находящихся внутри потенциальных ям, и

(4 б)

для электронов, находящихся вне потенциальных ям. В этих уравнениях E _k - кинетическая энергия электрона

.

Общее решение уравнения (4 а) для электронов внутри потенциальных ям может быть записано в виде

, (5 а)

где a - некоторый параметр, который может быть найден подстановкой решения в виде (5 а) в исходное уравнение (4 а). Эта подстановка приводит к следующему значению a:

.

В области вне потенциальных ям при условии, что высота потенциального барьера U ₀ выше полной энергии электрона Е, решение уравнения (4 б) имеет вид:

, (5 б)

где

.

Постоянные A, B, C и D в формулах (5 а) и (5 б) находятся как обычно из граничных условий. Граничные условия требуют, чтобы функция u (x) и ее первая производная в местах скачков потенциала, т. е. на стенках потенциальных ям, были непрерывны. Эти требования приводят к следующей системе уравнений:

(6)

Система уравнений (6) после подстановки в нее функций и , согласно равенствам (4 а) и (4 б), преобразуется в систему линейных однородных алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются коэффициенты A, B, C и D. Определитель этой системы будет равен нулю (только при этом условии система линейных однородных уравнений имеет отличные от нуля решения), если выполняется следующее равенство:

. (7)

Выражение (7) можно значительно упростить, если допустить, что ширина барьера стремится к нулю , а его высота - к бесконечности , но таким образом, чтобы произведение U₀b оставалось постоянным . При этих условиях выражение (7) преобразуется к виду:

, (8)

где

.

Поскольку a - параметр, определяемый энергией Е электрона

(напомним, что ), а k - волновой вектор электрона, то выражение (8) представляет собой зависимость E(k), т. е. дисперсионное соотношение для электрона в кристаллической решетке. Это дисперсионное соотношение можно записать в явном виде, решив уравнение (8) относительно a при фиксированном значении параметра p.