Занятие 13. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме. Понятие общего решения. Задача Коши для системы. Решение системы сведением к одному ДУ более высокого порядка

УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА – «Дифференциальные уравнения».

Часть 3. Системы дифференциальных уравнений.

ЗАНЯТИЕ 13. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме. Понятие общего решения. Задача Коши для системы. Решение системы сведением к одному ДУ более высокого порядка.

Ауд.

Л-4. Гл. 10

№ 412, 414, 416, 418, 420, 422*, 427 + 431, 432, 438, 440, 444.

7+5

☺ ☻ ☺

Общие сведения. Учитывая, что в предлагаемых для самостоятельных упражнений заданиях мы ограничиваемся системами, состоящими из двух уравнений, все общие выражения относим только к системам двух дифференциальных уравнений: (1)

где функции , – заданные, дифференцируемые.

Замечание: при ссылках на отдельные уравнения системы будем использовать двухпозиционные записи; например: (1.1) – ссылка на 1-е уравнение системы (1).

1). Продифференцируем уравнения (1.1) и (1.2) системы (1) по , учитывая, что – некоторые функции независимой переменной : . (2)

Воспользовавшись уравнениями (1.1) и (1.2), запишем выражение (2) в виде:

. (3)

2). Из выражений (1.1) и (3) составим систему уравнений: (4)

Для удобства, в системе уравнений (4) принято: , . Применяя общие правила решения системы уравнений, выразим (считая, что это возможно!) из уравнения (4.1) функцию и подставим её в уравнение (4.2):

. (5)

3). Уравнение (5) – дифференциальное уравнение 2-го порядка для функции . Решая это уравнение, получим: , (6)

где , – произвольные постоянные. Используя решение , вычисляем и записываем: .

4). Используя решения и , оформляем общее решение исходной системы (1).

••• ≡ •••

Пример 1 – 412: Решить систему уравнений: (1)

Решение:

Замечание: система уравнений не является линейной, применим метод сведения системы уравнений к одному уравнению 2-го порядка относительно или .

1). Продифференцируем по t уравнение (1.1): =– , учтём (1.2) → =– . Далее учитываем из (1.1): = , после чего получаем уравнение: , или . Последнее равносильно уравнению .

2). Интегрируя уравнение , получаем: = , или .

3). Учитывая уравнение (1.1), из выражения = получаем: .

4). Общее решение записывается в виде системы: .

Ответ: общее решение системы: .

Пример 2 – 414: Решить систему уравнений: (1)

Решение:

1). Умножив (1.1) на и учитывая (1.2), получим: . Интегрируя последнее, легко получаем: .

2). Перепишем (1.1), применяя тождественные преобразования: = = + . Учитывая (1.2), запишем: = + , или =– . Последнее уравнение легко интегрируется (если иметь в виду ): .

3). Используя выражения и , легко получить (сложив эти выражения!): . Модифицируя постоянные: → 2 ; → 2 , запишем: . Возводя последнее выражение в квадрат, и учитывая выражение , получим: = . Используя , нетрудно получить = .

Замечание: Пример хорошо иллюстрирует возможности импровизации при решении системы ДУ применением метода сведения системы к одному уравнению высшего порядка.

Ответ: общее решение системы: .

Пример 3 – 416: Решить систему уравнений: (1)

Решение:

1). Из уравнения (1.1) получим: = , аналогично из (1.2): = . Эти два выражения дают: = → .

2). Учитывая , перепишем (1.1): = → = . Или в виде: = – однородное уравнение в стандартной форме. Его стандартное решение даёт: . Замечание: проверка условия: здесь не нужна из-за участия произвольной постоянной величины .

Ответ: общее решение системы: .

Пример 4 – 418: Решить систему уравнений: = = (1)

Решение:

1). Из уравнения: = получаем: . Учитывая полученное выражение, запишем уравнение: = или: =1+ .

2). Полученное уравнение стандартным алгоритмом приводится к уравнению с разделяющимися переменными! Пусть: , вычислим производную по переменной , имеем: . Тогда , окончательно: – переменные разделились! Интегрируя последнее, получаем выражение: , или .

Ответ: общее решение системы: , .

Пример 5 – 420: Найти общее и частное решения: , . (1)

Решение:

1). Продифференцируем уравнение (1.2): =– = . Учитывая уравнение (1.2) получим уравнение: , которое не содержит переменной и решается понижением порядка. → . Тогда имеем: , или (так как из уравнения (1.2): ) уравнение: – уравнение с разделяющимися переменными, откуда: и далее выражение: .

2). Дифференцируем выражение: и используем уравнение (1.2). Полученное выражение для функции : .

3). Общее решение уравнения: , .

4). Используя заданные начальные условия, имеем: , , откуда получаем величины , . Записываем частное решение: , .

Ответ: Частное решение: , .

Пример 6 – 422^*: Для системы уравнений: и функций и .

проверить, являются ли соотношения первыми интегралами системы.

Решение:

Замечание: является первым интегралом системы , тогда и только тогда, когда: . (1)

1). Проверим уравнение (1) для функции : – тождественно. Является.

2). Проверим уравнение (1) для функции : . Не является.

Ответ: соотношение – является, а соотношение – не является.

Пример 7 – 427: Решить систему уравнений: (1).

Решение:

1). Перепишем уравнение (1.1): → . Для дальнейшего использования уравнение (1.2) запишем в виде: .

2). Продифференцируем уравнение (1.1): . Учитывая выражения для функции и для произведения , получим уравнение , которое после умножения на . принимает вид: – уравнение Эйлера. (2)

3). Применим подстановку: .Вычисляя производные , и учитывая уравнение (2), получаем уравнение: . Его корни: = , = .

4). Записываем ФСР: = и = . Общее решение: = .

5). Вычислим производную: . Учитывая полученное ранее выражение , получаем: = .

Ответ: общее решение системы = ; = .

Замечание: обратим внимание на особенности применения способа решения системы ДУ сведением к уравнению высшего порядка для одной из искомых функций: здесь интенсивное применение средств математического анализа сочетается с достаточно тонкими средствами школьной алгебры!..

F☺☺E

Общие сведения. Учитывая, что трудоёмкость решения систем дифференциальных уравнений существенно зависит от числа функций, участвующих в построении системы, в предлагаемых для самостоятельных упражнений заданиях мы ограничиваемся системами, состоящими из двух уравнений. Поэтому все общие выражения, применяемые при решении систем уравнений, относим только к системам двух дифференциальных уравнений: (1)

где – действительные числа (постоянные); , – искомые, дифференцируемые функции.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое «нормальная форма» записи системы уравнений 1-го порядка?

2. Как уравнение n-го порядка представить в виде системы уравнений 1-го порядка?

3. Как систему уравнений 1-го порядка сводят к одному уравнению n -го порядка?

4. Как записывают начальные условия для системы трёх уравнений 1-го порядка?

F☺☺E

где – действительные числа (постоянные); , – искомые, дифференцируемые функции.

Решение системы уравнений подсказывает равносильность системы (1) линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка с постоянными коэффициентами для любой из функций , , а также свойство производной функции : при дифференцировании вид функции не меняется. Так как в системе уравнений участие функций , согласовывается при помощи коэффициентов , то, нетрудно догадаться, что решение системы следует искать в виде: , , (2)

причем коэффициенты , =1,2 – будут определяться из условия, что совокупность функций в записи (2) есть решение системы уравнений (1):

или (3)

Замечание: система уравнений (3) записана с учётом деления каждого из уравнений на общий множитель: .

Известно, система линейных однородных (алгебраических) уравнений имеет ненулевые решения только в случае, если её определитель равен нулю:

= =0. (4)

Уравнение-многочлен =0 называется характеристическим для системы (1), его корни – характеристическими корнями этой системы.

Дальнейшее использование полученных характеристических корней зависит от их вида. Различают случаи:

Случай -1. Корни уравнения ∆(k) = 0 действительные и различные: , .

Для каждого из системы (3) определится набор коэффициентов: , , =1,2, что определит полный набор решений системы (1):

= · , = · , (5)

Учитывая теорему: сумма решений однородной системы уравнений – тоже решение, можем записать общее решение системы уравнений (1):

= · + · = · · + · · , (6)

где , - произвольные постоянные. Запись (6) называют общим решением системы уравнений (1).

Если заданы начальные условия: = , = , можно определить такие значения , , что из множества интегральных кривых будет выделена та, которая проходит через точку .

Случай -2. Корни уравнения ∆(k) = 0 комплексные: = .

Для пары корней из системы (3) определятся: = i ; = i . Применим сначала знак , запишем решение системы (1):

= · = · , (7)

после выполнения операций умножения комплексных чисел и несложных тождественных преобразований в выражении (7) получим:

= · = · + · . (8)

Аналогично, применяя знак , получаем решение системы (1) с теми же величинами, но только со знаком перед мнимой единицей :

= · = · – · . (9)

Известно (была доказана теорема!), что от записей решений системы (1) с использованием выражений (8) и (9) можно перейти к записям:

= · и = · . (10)

= · + · = · · + · · , (11)

где , - произвольные постоянные. Запись (11) называют общим решением системы уравнений (1) для пары характеристических корней .

Случай -3. Корни уравнения ∆(k) = 0 действительные и равные: = = .

Для каждого из системы (3) определится набор коэффициентов: = и = . Это значит, что необходимо как-то учесть равенство (кратность) характеристических корней. В отличие от способа учёта кратных корней при решении уравнений высшего порядка для одной функции, в случае системы уравнений ищут сразу пару решений, используя конструкцию: = · , (12)

Так как выражение (12) должно быть решением, то необходимо участвующие параметры подчинить заданной системе уравнений (1). Подставим (12) в систему (1), сократив на число , получим систему тождеств:

(13)

Приравнивая в тождествах (13) коэффициенты при одинаковых степенях , получаем системы уравнений: при : (14)

при : (15)

Порядок нахождения параметров , =1,2 из систем уравнений (14) и (15):

1). Из системы (14) находим параметры : так как определитель системы равен 0, то ненулевые решения у системы найдутся. Принимая свободную неизвестную = , получим в выражении (12) участие свободной неизвестной. Параметр будем использовать как произвольную постоянную в записи решения системы (1) – признак общего решения системы!

2). Используя найденные параметры , решаем систему уравнений (15). Это система также имеет ненулевые решения: . Принимая свободную неизвестную = , получим в выражении (12) участие ещё одной свободной неизвестной. Параметр будем использовать как произвольную постоянную в записи решения системы (1) – признак общего решения системы!

Итак, получено общее решение системы дифференциальных уравнений (1) для случая кратных действительных корней.

••• ≡ •••

Пример 1 – 431: Решить систему линейных уравнений:

Решение:

1). Найдем характеристические корни системы: = = 0, откуда получаем: = 1, =2. Для каждого определится набор коэффициентов: , , что определит полный набор решений заданной системы:

= ∙ = ∙ , = ∙ = ∙ . (1.1)

2). Для определения векторов , составим систему уравнений:

(2.1)

3). Для корня = 1 система (2.1) имеет решение = ; для =2 система (2.1) имеет решение: = .

Замечание: решение системы (2.1) проводится по известным правилам из курса «Линейная алгебра».

4). С учетом полученных векторов , составим общее решение исходной системы дифференциальных уравнений: =1, = 0

= + = ∙ + ∙ . (3.1)

Ответ: общее решение системы: = + = ∙ + ∙ .

Пример 2 – 432: Решить систему уравнений: при условии: .

Решение:

1). Найдем характеристические корни системы: = = 0, откуда получаем: = 2, =4. Для каждого определится набор коэффициентов: , , что определит полный набор решений системы (1):

= ∙ = ∙ , = ∙ = ∙ , (1)

2). Для определения векторов , составим систему уравнений:

(2)

3). Для корня система (2) имеет решение = ; для корня система (2) имеет решение: = .

4). С учетом полученных векторов , составим общее решение исходной системы дифференциальных уравнений: = + = ∙ e ² ^t + ∙ e ⁴ ^t. (3)

5). Учитывая начальные условия и запись общего решения, получим:

= + , откуда =1, = 0. (4)

6). Используя результаты (4), запишем частное решение системы, удовлетворяющее начальным условиям: = ∙ e ² ^t. (5)

Ответ: Общее решение системы: = ∙ + ∙ , частное: = ∙ .

Пример 3 – 438: Найти частное решение системы: если: .

Решение:

1). Найдем характеристические корни системы: = = 0, откуда получаем: = = –1; = 2. В этом случае решение системы для кратного корня =–1 необходимо искать в виде: , (1.4)

2). Подставим (1) исходную систему уравнений:

(2.4)

3). Так как в системе уравнений (2.4) каждое уравнение является тождеством, то все неизвестные коэффициенты найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях: и :

при : откуда получаем: ; (3.4)

при : получаем: = . (4.4)

В данной задаче, если в уравнении (3.4) принять в качестве свободных неизвестных две из неизвестных , то из (4.4) получается , то есть неизвестные не могут быть свободными в общей системе (3.4),(4.4). Тогда из (4.4): получаем значения остальных параметров: , , .