Занятие 15. Решение системы дифференциальных уравнений: методом неопределённых коэффициентов и методом вариации произвольных постоянных

Ауд.

Л-4. Гл. 10

№ 442, 444, 445.

☺ ☻ ☺

Общие сведения. Для моделирования общего алгоритма решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами рассмотрим систему, содержащую только три уравнения для функций x, y, z:

(1)

где функции _{, ,} – непрерывные функции переменной , заданы в соответствии с правилом (4) и хотя бы одна из них не равна нулю. Функции _{, ,} – искомые решения.

Общий алгоритм решения неоднородного уравнения:

1^*. Записываем соответствующую неоднородной системе уравнений (1) однородную систему (без функций _{, ,} ): (2)

и находим её решение (в соответствии с представленными в Главе Пособия 12 методами).

2^*. Находим частное решение системы (1) однородную систему, учитывая конкретный набор функций _{, ,} .

3^*. Записываем общее решение системы (4) в виде: = + . (3)

4^*. Находим решение системы (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Записанный алгоритм содержит величины: , , , вычисление которых зависит и от набора функций: _{, ,} , и от особенностей заданной системы (1). Не станем записывать общих формул, которые охватили бы самый общий набор функций _{, ,} и получающихся выражений для вычисления функций: , , . Правила решения системы (1) вполне понятны из рассмотрения конкретных Примеров!

••• ≡ •••

Пример 1 – 442: Решить систему нелинейных уравнений:

Решение:

1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (т.е. без функции ): = =0, откуда получаем: =1– i; =1+ i. В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде: = + , (1)

где = ∙ = ∙ , = ∙ = ∙ . (2)

2). Для определения векторов , составим систему уравнений:

(3)

3). Для =1– i система (3) имеет решение: = . Тогда можно записать:

= ∙ = = . (4)

4). Для =1+ i система (3) имеет решение: = . Аналогично получаем:

= ∙ = = . (5)

т.е. решения и – комплексно-сопряженные.

5). В качестве частных решений системы уравнений берем отдельно мнимую и действительную части. Получаем: = , = (6)

6). С учетом выражений (6) запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: = ∙ + ∙ . (7)

7). Так как функция: – имеет специальный вид, ее образующее число = не совпадает с характеристическими корнями и , то частное решение заданной системы будем искать в виде: = , ее производные: = . (8)

8). Подставляя (8) в заданную систему, получаем систему тождеств:

откуда следует: =–1, =0. (9)

9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:

= + = ∙ + ∙ ∙ + ∙ = ∙ . (10)

Ответ: общее решение: = ∙ .

Пример 2 – 444: Решить систему нелинейных уравнений:

Решение:

1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (т.е. без функций = и = ): ∆(k)= =0, откуда получаем: = , = . В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:

= + , (1)

где = ∙ = ∙ , = ∙ = ∙ , (2)

2). Для определения векторов , составим систему уравнений:

(3)

3). Для значения = = система (3) имеет решение: = . Тогда можно записать:

= ∙ = = . (4)

4). Для значения = = система (3) имеет решение: = . Аналогично получаем:

= ∙ = = , (5)

то есть решения и (выражения (4)и (5)) комплексно-сопряженные.

5). В качестве частных решений системы уравнений берем отдельно мнимую и действительную части. Получаем: = , = . (6)

6). С учетом выражений (6) запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: = + . (7)

7). Так как функции: = и = – имеют специальный вид и общее образующее число , причем совпадает с характеристическими корнями и , то частное решение заданной системы будем искать в виде:

= . (8)

8). Подставляя (8) в заданную систему, получаем систему тождеств:

=

= , (9)

=

= .

Приравнивая коэффициенты при подобных членах тождеств (9), получим алгебраическую систему уравнений, решением которой является: =–1, = = = = =0, = =1. Тогда (8) можно записать в виде: = (10)

9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:

= + = ∙ . (11)

Ответ: Общее решение: = ∙ .

Пример 3 – 445: Решить систему линейных уравнений:

Решение:

1). Найдем характеристические корни соответствующей однородной системы (т.е. без функций , ): = = 0, откуда находим: =– i; = i.

2). В этом случае общее решение однородной системы будем искать в виде:

= + , (1)

где = ∙ = ∙ , = ∙ = ∙ , (2)

3). Для определения векторов , составим систему уравнений:

(3)

4). Для =– i система (3) имеет решение: . Тогда можно записать:

. (4)

5). Для = i система (3) имеет решение: . Аналогично получаем:

. (5)

то есть решения и – комплексно-сопряженные.

6). В качестве частных решений системы уравнений берем отдельно мнимую и действительную части. Получаем: = , = (6)

7). С учетом выражений (6) запишем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений: = + . (7)

8). Для нахождения искомых функций x(t)_, y(t) применяют метод «вариации произвольных постоянных. Для этого считают , функциями переменной , которые находят из системы уравнений: или (8)

9). Так как определитель системы (3) не равен нулю, система имеет решение:

или после интегрирования: (9)

где , – произвольные постоянные интегрирования. Подставляя (9) в (7), получим общее решение неоднородной системы уравнений:

= = . (10)

Ответ: Общее решение: = .

Вопросы для самопроверки:

1. Как по записи системы уравнений 1-го порядка определить, что она линейная?

2. Почему линейная система однородных уравнений с постоянными коэффициентами удовлетворяет требованиям теоремы «о существовании и единственности решений»?

3. Как записывают характеристический многочлен для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?

4. Как записывают общее решение системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?

5. Как находят частное решение системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?

6. Как учитывают кратность характеристических корней при решении системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами?

☺FE☺